랜딩 플랫폼은 쿼드콥터의 자세를 만들고 지면에 의한 충격을 흡수하기 위해 롤, 피치의 회전운동과 상하운동으로 움직임이 가능하도록 하였다. 그래서, 4개의 레그로 구성하였으며, 레그 1개는 2개의 링크와 2개의 회전 조인트로 구성되었다. [Fig. 3]에서 Body frame은 Inertial frame에 대한 랜딩플랫폼의 상대 위치를 나타내는 좌표계를 의미한다.

[Fig. 3] 
Floating based robot coordinate

매니퓰레이터처럼 지면에 고정되지 않은 시스템을 표현하기 위해서, Body frame에 토크와 힘을 가질 수 없는 3개의 직선 운동 조인트와 3개의 회전운동 조인트를 가진 가상의 매니퓰레이터(Virtual manipulator)로 상태(State)를 나타낼 수 있으며, 아래와 같다.

Inertial frame에 대하여 q_bP = [x_b y_b z_b]^T는 가상의 매니퓰레이터의 직선운동을, q_bR = [ϕ θ ψ]^T은 회전운동을 나타낸다.

각 레그를 구분하기 위해 i = RF, LF, LB, RB 라고 하고, 각 레그에 대한 파라미터는 [Fig. 1]의 레그 파라미터는 다음 설명과 같다.

l₁, l₂ : 각 링크의 길이
l_1,cm, l_2,cm : 조인트로부터 질량 중심까지 길이
x_i,p, y_i,p : 각 레그의 엔드이팩터의 위치
q_i,j = [q_i,1 q_i,2]^T : 조인트 위치
f_i = [f_i,x, f_i,y, f_i,z]^T : 엔드이팩터에 가해지는 힘
m₁, m₂ : 각 링크의 질량
m :=m₀ + 4m₁ + 4m₂ : 전체 질량

그리고, qi=qbqi,jT∈R8로 다시 쓸 수 있다.

또한, 모든 레그를 받쳐주고 드론의 질량이 포함되어 있다고 가정한 중간프레임의 질량을 m₀라 하고, 가상의 매니퓰레이터의 끝에 중간프레임의 질량 중심이 있다고 가정한다. 중간프레임의 질량 중심으로부터 q_i,1 조인트까지의 길이를 r 이라고 한다.

랜딩플랫폼의 동역학 방정식은 라그랑주 방법(Lagrange Method)을 통해 유도 되어 졌다. 라그랑주는 구하고자 하는 매니퓰레이터의 운동에너지(K)와 위치에너지(P)의 차로 구해지며, 각 조인트의 속도 및 위치에 대해 편미분을 통하여 각 조인트에 필요한 토크 및 힘(τ_i)을 구할 수 있다.

위 식을 엔드이팩터에 가해지는 외력을 포함한 형태로 전개하면 아래의 벡터-행렬식으로 표현할 수 있다.

τi∈R2 : 조인트 토크 벡터
Miqi∈R8×8 : 질량-관성 행렬
Ciqi,qi˙∈R8 : 코리올리-원심력 벡터
Giqi∈R8 : 중력 벡터
S_i = [0_2×6 I_2×2] : 선택(Selection) 행렬
Ji=JibodyJileg∈R3×8 : 자코비안(Jacobian) 행렬

그리고 벡터-행렬식을 가상 매니퓰레이터와 레그에 대해 분해하면,

이 된다. 독립변수 백터 qi,qi˙는 표기를 생략하였다.

따라서, 전체 시스템에 대한 동역학 방정식은 모든 i의 레그의 동역학 방정식을 더한 것과 같다.

n_c 는 지면에 접촉하고 있는 엔드이팩터의 개수이다.

접촉힘(Contact force)은 지면에 접촉한 엔드이팩터에 대해서만 발생하기 때문에, J_c는 접촉한 레그에 대해서만 J_i 를 포함한다. 따라서, n_c의 값에 따라 J_c의 차원은 변하게 되고, 지면에 접촉한 각 엔드이팩터의 접촉힘 f_i 역시 n_c에 비례하여 f의 차원이 변화 되어야 한다.

2차원 평면으로 봤을 때 랜딩플랫폼의 자세를 수평으로 만들기 위해서, 한쪽 레그를 수직으로 들어 올림으로써 랜딩플랫폼을 수평으로 만들 수 있다[Fig. 5].

[Fig. 5] 
Landing platform balancing principle

자세를 수평으로 추종하기 위해서 목표 자세와 현재 자세에 대한 차를 PID 제어기의 입력으로 넣고, 출력으로 나온 제어치는 랜딩플랫폼이 수평을 유지하기 위한 엔드이팩터의 위치를 결정하는 기구학 계산을 위한 입력으로 사용한다. 엔드이팩터의 초기 위치 x_i,0, y_i,0를 시작으로, PID 제어기로부터 출력된 각축에 대한 제어치 d_ϕ, d_θ 만큼 x_i,p, y_i,p가 보상된다. d_ϕ, d_θ를 각 레그에 [Table 1], [Table 2]와 같이 분배하는 기준은 랜딩플랫폼의 자세(ϕ, θ) 와 y~ϕ,y~θ 이다. y~ϕ,y~θ는 다음 식과 같다.

y~ϕ,y~θ는 특정 회전축 기준의 한쪽 레그 만 움직이도록 만드는 제약의 기준이 된다. ϕ = ϕ_ref, θ = θ_ref일 때 d_ϕ, d_θ는 0 이다. x_i,p = x_i,0로서, 변하지 않도록 하였다. yi,p-는 제어주기의 한 주기 이전 위치를 말한다.

R3 공간에서 엔드이팩터에 걸리는 힘(f_e)을 입력으로 하고, 작업공간(Task space)에서 기준 위치(x_ref)에 대한 변위(x)를 출력으로 하는 임피던스 제어를 방정식으로 표현하면 아래와 같다^[17].

fe,x,xref∈R3,M,D,K∈R3×3이며, M은 질량 행렬, D는 댐핑 상수 행렬, K는 스프링 상수 행렬이다.

하지만, 랜딩플랫폼에 사용된 힘센서는 1축에 대해서만 측정할 수 있다. 따라서 질량, 댐핑, 스프링 상수 및 상태변수는 R1 공간에서 다시 임피던스 방정식을 유도하였다. 그리고 엔드이팩터의 궤적은 위치제어만 하기 때문에 x_ref에 대한 미분 항은 무시하였다.

fe,x,xref∈R,m,d,k∈R, x_ref = 0 라고 할 때, 전달함수 G(s)는 다음과 같다.

위의 전달함수 식을 감쇠비(ζ) 와 자연주파수(w_n)으로 구성된 2차 시스템의 전달함수로 표현할 수 있다.

식 (17)에 대해서 각 항을 대응시키면 식 (18), (19), (20)을 얻을 수 있다.

따라서 ζ, w_n를 조정하여 a, d, k를 얻고, 과도응답 특성을 결정할 수 있다.

랜딩플랫폼에 적용되는 임피던스 제어기는 물리적으로 랜딩플랫폼이 질량 그 자체로 존재하기 때문에 m항을 뺀 나머지 항으로 제어기를 설계한다.

위 식을 블록 다이어그램으로 표현하면 [Fig. 6]와 같다.

[Fig. 6] 
Impedance control block diagram

시스템을 모델링 할 때 실제 시스템과 똑같이 모델링하는 것은 쉽지 않고, 노이즈 때문에 상태를 정확하게 측정하는 것은 불가능하며, 상태의 초깃값 역시 알기 어렵다. 그래서 실제 시스템의 상태를 측정한 값과 랜딩 플랫폼의 모델을 통해 얻은 상태를 섞어서 실제 플랫폼의 상태를 추정할 수 있다.

먼저 상태 공간 방정식을 동역학 방정식으로부터 유도해야 한다. 동역학 방정식을 선형화를 통해서 상태 공간 방정식을 유도할 수도 있지만, 높은 차원의 동역학 방정식은 복잡하고, 많은 연산이 요구되기 때문에 선형 시 불변인 2차 시스템으로 근사하였다.

[Fig. 7]에 스프링과 댐퍼는 임피던스 제어기가 포함된 것을 도식화한 것이며, 랜딩플랫폼은 앞뒤 좌우 대칭이기 때문에 θ 에 대한 모델도 위와 동일하다. 각 변수 및 파라미터는 다음과 같다.

[Fig. 7] 
Landing platform approximated to 2^nd order system

J∈R : 관성 모멘트
r∈R : 무게중심으로부터의 거리
kt∈R : 병진운동 스프링 상수
dt∈R : 병진운동 댐핑 상수
kr∈R : 회전운동 스프링 상수
dr∈R : 회전운동 댐핑 상수

2차 시스템을 바탕으로 상태 공간 방정식을 유도하면 다음과 같다.

실제 랜딩플랫폼에서 측정된 출력값(y), 상태 추정기로부터 나온 추정된 출력을 y^ 이라고 할 때 상태 추정기의 방정식은 아래와 같다.

위 방정식에 대한 블록 다이어그램은 아래 [Fig. 8]과 같다.

[Fig. 8] 
State estimator block diagram

e:=x-x^라고 하고, 양변을 미분하여 정리하면 아래와 같다.

L∈R6 : 상태 추정기 게인

L을 조정하여 A-LC 의 고유값을 조정할 수 있다. L 을 높일수록 고유값은 커지면서 더욱 e 를 더욱 빠르게 0으로 수렴하게 된다. 그러나 동시에 노이즈에 대해서 민감하게 반응하게 된다는 단점이 있다.

임피던스 제어기의 성능은 3.2절에서 말한 것과 같이 임피던스의 각 파라미터는 ζ, w_n 에 의해 응답기 결정된다. 임피던스 제어기는 충격을 완화하기 위해 적용된 것이므로 충격을 가장 잘 흡수하는 계수를 찾는 것이 목적이다. ζ 특성을 고려했을 때 ζ 가 클수록 %OS 및 정착시간이 줄어들 것을 예상할 수 있다. [Fig. 12]에서는 기체의 전체 무게 4.5 kgf, w_n = 1 일 때를 기준으로, 고도 0.5 m 지점에서 수평면 착륙함으로써, 각 ζ에 대한 시간 응답을 나타 낸다.

[Fig. 12] 
Drop test for each damping ratio

위 그래프에서 나타났듯이, ζ가 커질수록 진동이 줄어드는 것을 볼 수가 있다. ζ 가 1일 때 가장 좋은 성능을 보였기 때문에 d, k 는 ζ 가 1 일 때(Critical damped)를 기준으로 결정되었다(k = 5.5, d= 11).

선박의 흔들림에 따라 들어 올릴 레그를 다른 레그로 전환할 때, 한쪽 레그는 급정지, 그리고 다른 레그를 들어 올리는 속도를 급격히 가속함에 따라 내부적인 진동이 발생했다. [Fig. 13]은 시뮬레이션 선박을 크기 15°, 각속도 1.5 rad/s 로 sin 파형으로 흔들 때를 나타낸다.

[Fig. 13] 
Impedance on/off comparison in simulation

선박의 회전각의 크기는 그래프의 가독성을 위해 실제 기울기의 1/4 scale로 나타냈다. 임피던스 제어기를 껐을 때는 자세의 피크(Peak) 마다 진동이 발생하는 것을 확인할 수 있다. 하지만 임피던스 제어기를 켰을 때는 착륙 충격 순간 자세 변화량이 39.7%가 줄어들고, 동시에 자세 오차의 피크에서 진동이 발생하는 현상이 줄어들었다.

[Fig. 14]는 시뮬레이션과 같이 프로토타입 랜딩플랫폼에 크기 10°, 각속도 2.11 rad/s 으로 테스트베드 위에서 실험했을 때를 나타낸다. 임피던스 제어기의 ON/OFF의 피크 오차가 각각 5.59°, 5.72° 가 발생하였고, 임피던스 제어기가 ON일 때, 진동이 완화되어 좀 더 안정적인 자세를 보여줬다. F_R 과 F_L 는 같은 열에 있는 레그 위치의 합을 나타낸다.

[Fig. 14] 
Impedance on/off comparison for prototype

추정기는 노이즈에 대해 강인함을 확인하기 위해서 시뮬레이션의 센서에 실제 센서와 유사한 분산을 갖는 노이즈를 주어서 성능을 확인하였다. 힘센서 및 IMU센서의 분산은 각각 0.0658, 0.0281로 나타났다.

추정기의 게인 L에 따른 e가 0으로 수렴하는 시간 응답을 확인하기 위해, 플랜트(Plant)의 상태변수 x=yL,p y˙L,p yR,p y˙R,p ϕ ϕ˙T와 u = [f_L,y F_R,y]^T 에서 초기 상태를 x₀ = [0 0 0 0 10° 1°]^T , u₀= [0 2]^T 라고 했을 때 실험 결과는 [Fig. 15]와 같이 나타났다.

[Fig. 15] 
Error tracking for each gain

그래프에서 나타난 바와 같이, 게인 L이 클수록 빠르게 실제 플랜트의 ϕ_act에 추종하지만, 노이즈에 민감하게 반응하는 것을 확인할 수 있었다. 노이즈에 대해 강인한 추정기를 얻는 것이 목적이기에 실험 중 가장 안정적이었던 L 이 1일 때를 기준으로 시뮬레이션의 랜딩플랫폼에 적용하였다.

SS5 상태에서의 선박의 롤에 대한 움직임을 시뮬레이션에 나타내고, 랜딩플랫폼의 센서에 노이즈를 첨가했다. 이에 따른 상태 추정기의 유무에 대한 랜딩플랫폼의 자세는 [Fig. 16]과 같이 나타났다.

[Fig. 16] 
Estimator on/off comparison in simulation

추정기를 껐을 때는 노이즈를 띄고 있는 자세값 때문에 균형제어 역시 큰 영향을 받아 진동하였고, 추정기를 켰을 때 노이즈에 의한 랜딩플랫폼의 롤에 대해 흔들림이 크게 줄었다.

시뮬레이션을 통해 랜딩플랫폼을 0.5 m 에서 출렁이는 테스트베드 위에 착륙하여 랜딩플랫폼의 시간응답을 비교해 보았다. 랜딩플랫폼의 롤에 대한 시간응답은 [Fig. 17]과 같이 나타났다.

[Fig. 17] 
Landing and swaying test for each SS code in simulation

파도 크기에 비해 배의 크기가 크기 때문에 흔들리는 주파수 대역이 낮게 나타났다. SS가 높을수록 오차가 크게 나타났고, 노이즈에 대한 영향을 줄이기 위해 낮게 설정했던 추정기의 Gain에 의해 실제 랜딩플랫폼의 롤(ϕ_Body)에 대한 오차는 추정기와 노이즈가 없는 상태일 때 보다 크게 나타났다.

프로토타입 랜딩플랫폼 실험은 실제 테스트베드의 성능의 한계 때문에 실제 선박의 동특성을 동일하게 묘사하기에는 한계가 있었기에, 동특성에서 가장 큰 스팩트럼을 기준으로 선박의 흔들림과 유사하도록 파형을 생성하여 실험을 진행하였다.

롤, 피치 두 개의 축으로 선박의 운동을 생성하였고, 0.5 m에서 착륙실험을 했을 때의 결과는 [Fig. 18]과 같이 나타났으며, 자세 오차는 모두 1° 이내로 나타났다. 시뮬레이션과 실제 실험 결과에서 알 수 있듯이 선박이 흔들리는 주기가 느리기 때문에 흔들림의 크기에 상관없이 큰 오차가 발생하지 않았다.

[Fig. 18] 
Landing and swaying test for each SS code for prototype