그래프 표현법은 기본적으로 풀리와 강체 막대를 링크 로 하여 점으로 표현하고, 얇은 선을 회전짝(turning pair, revolute joint)으로 표현한다. 원형기호(◯)는 풀리와 링크등 독립적인 강체를 의미한다. 풀리 j와 강체 막대 k는 b라는 회전짝에 연결되어 있으므로 i-k, j-k는 얇은 선(━)으로 연 결을 하고 얇은 선에 회전짝(axes a and b)을 인덱스로 써준 다. 풀리들을 연결시켜주는 텐던은 그 연결방식에 따라 두 가지 형태의 선으로 연결을 하는데, 연결된 풀리간의 회전 방향을 바꾸는 교차형은 두꺼운 선(▬)으로 연결하고, 평행 한 연결은 이중선으로 연결한다 (=). Fig. 1은 교차형 연결, 평행 연결, 그리고 직접적 구동기를 연결한 방식에 대한 그래프 표현 방법을 보이고 있다. 풀리 i와 강체 링크 k는 a라는 회전짝에 연결되어있고, 풀리 j와 강체 링크 k는 b라 는 회전짝에 연결되어 있다. Fig. 1(a)는 i-j가 교차형으로 연 결되어 있으므로 그래프에서 가는선으로, Fig. 1(b)는 i-j가 평행한 연결을 가지므로 그래프에서 이중선으로 연결된다. Fig. 1(c)는 링크i 와 링크 j가 a라는 회전짝에 연결되어 있 고, 해당 회전짝에 배치된 구동기 m의 회전은 곧 링크 j의 회전과 같으므로 이중선으로 연결한다. 제안하는 형태의 그래프 표현은 각종 텐던구동 혹은 텐던구동과 직접구동 이 혼합된 형태의 로봇머니풀레이터 및 메커니즘에 합당 하게 적용될 수 있다.

텐던 연결 토폴로지 행렬은 텐던 기반 머니퓰레이터에 서 텐던 연결 방식에 따라서 결정되는 행렬로서, 이것은 텐던의 움직임과 머니퓰레이터의 관절 움직임의 관계를 보여줄 뿐만 아니라 해당 머니퓰레이터의 텐던 연결 구조 에 의해 시스템의 가제어성에 관한 정보까지 포함하고 있 는 중요한 행렬이다.

텐던 연결 토폴로지 행렬을 좀 더 쉽게 이해하기 위해서, 참고문헌 ^[1]의 기본적인 예제를 이용해 적용해 보도록 하 자. 우선 앞의 Fig. 1(a)와 (b)의 경우에서 항상 만족하는 기 구적 수식은 아래와 같다.

여기서 r_i, r_j 는 각각 풀리 i, j 의 반지름 값이고, θ_i,k, θ_j,k 는 각각 k 에 대한 i 의 상대회전, k 에 대한 j 의 상 대회전을 나타낸다. 이는 텐던의 움직인 거리는 각 풀리에 서의 텐던 이동거리와 같다는 가정에 의한 식이다. 식(1)에 서 +값은 평행연결, -값은 교차연결 상황에 해당된다.) 또 θ_i,j 는 i 에 대한 j 의 상대회전을 의미하며 다음처럼 기 술된다.

위의 두 식을 이용하여 Fig. 2에서 나타내고 있는 3링크를 갖는 로봇 머니풀레이터의 텐던입력과 로봇의 관절각도와 의 관계식을 유도해 보자. 해당 로봇은 한 개의 축 a에 모 여있는 3개의 모터 (m₁, m₂, m₃)가 각각 링크 1, 풀리 4, 풀 리 5를 구동시키고 있다. 풀리 5, 풀리 6, 그리고 풀리 3(링 크 3과 동일)은 평행연결로 묶여있고, 풀리 4와 풀리 2(링 크 2와 동일)도 역시 평행연결로 묶여 있다. 링크 1은 m₁ 에 의해 직접 구동되고 있다. 해당 상황에서 로봇의 링크 회전각도 (θ_1,0, θ_2,1, θ_3,2)와 모터회전 입력 (θ_1,0, θ_0,4, θ_5,0) 사이의 관계식은 다음과 같다.

이는 다음의 행렬로 표현할 수 있다.

이 식을 일반적으로 표현하면 다음과 같다.

여기서 S 는 텐던의 이동을 발생시키는 모터입력 벡터이며, θ 는 로봇 머니풀레이터의 관절변위에 대한 벡터이다. 위에서 만약 r₄ = r₅, r₂ = r₆ 이라면다음식이만족이된다.

이는 간략하게 다음처럼 표현될 수 있다

여기서 B 는 텐던 연결 토폴로지 행렬이고, R 은 단순히 풀리의 반지름 정보만을 담고 있는 대각행렬이다. 행렬 R 은 양의 대각행렬이므로 언제나 역행렬이 존재한다. 따라 서 행렬 B 만을 고려하면 해당 텐던 기반 머니퓰레이터의 특성을 파악할 수 있게 된다.

앞서 3링크 로봇의 예시에서는 수식적 전개를 통하여 텐던 연결 토폴로지 행렬을 획득하였으나, 그래프 표현을 이용하면 이런 수식에 의존하지 않고 텐던 연결 토폴로지 행렬을 용이하게 얻을 수 있다. 각 회전짝에서의 풀리의 반지름이 같은 경우, 앞서 제시된 바와 같이 텐던 연결 토 폴로지 행렬 B 와 풀리의 크기 비율 행렬 R 이 분리된 형 태로 얻어질 수 있다. 예를 들어, Fig. 3(a)에서 볼 수 있듯이 회전되는 로봇 링크(강체 막대)를 기준으로 구간을 나누고 각 구동기에 의해 연결되어 있는 풀리에 대하여 연결 형태 에 따라 0, 1, -1로 표현하면 텐던 연결 토폴로지 행렬을 손 쉽게 얻을 수 있다. 연결되어 있지 않은 경우에는 0을, 평 행 연결인 경우에는 1을, 교차형 연결인 경우 –1을 부여한 다. 이러한 방식으로 B 행렬을 분리하게 되면 0, 1, -1의 조 합으로 구성된 행렬을 얻게 되므로, 구조를 파악하는데 효 과적이다. 비록 일반적인 경우에는 각 회전짝에서의 풀리 의 반지름이 서로 다르므로 이와 같이 B 행렬을 분리할 수 없지만, 텐던 연결 방식에 따른 제어가능성 등을 논할 때에는 각 풀리의 반지름이 동일하다고 가정하여 텐던 연 결 토폴로지 행렬 B 만을 해석하여도 무방하다.

만약 기구학적 분석을 위한 목적이라면 정확한 기구학 적 구조행렬 A 를 얻을 필요가 있으므로, A 를 구하는 일 반적인 방법에 대해 소개하고자 한다. 기구학적 구조행렬 A 는 텐던 연결 토폴로지 행렬의 형태를 따른다고 할 수 있다. 다만 식(1), (2)와 같이 입력단의 회전에 의한 길이변 화는 다른 풀리와 링크의 회전에 의한 길이변화 합과 같기 때문에 각각의 풀리, 링크회전 각도는 풀리의 반지름이 곱 해진다. 따라서 입력단 회전각도에 대한 기구학적 구조행 렬을 얻을 경우, 행렬의 각 열의 분자는 해당 풀리의 반지 름을 쓰고, 분모에는 입력단 풀리의 반지름이 쓰여지면 된 다. 예를 들어, 앞의 3링크 머니퓰레이터의 경우, 텐던 연 결 토폴로지 행렬의 3번째 열은 [1 1 1]이고, 기구학적 구조 행렬의 3번째 열은 [r₅ / r_m3, r₆ / r_m3, r₃ / r_m3]가 되게 된다. 여기서 풀리 5는 구동기 m3에 직접적으로 연결되어있기 때문에 θ_0,m3 = θ_0,5 으로 표현이 가능하며, r_m3 = r₅ 이다. 따 라서 [1, r₆ / r₅, r₃ / r₅]와 같은 결과를 쉽게 얻을 수 있다.

앞의 예제는 2개의 텐던과 직접 구동기에 의해 동작하 는 3자유도 시스템으로서, 이것은 대표적인 텐던 구동방식 과 직접구동 방식의 머니퓰레이터가 혼합된 형태라 할 수 있습니다. Lee가 제안한 그래프 표현의 경우 텐던의 연결 에만 관심을 가졌기 대문에 전체적인 시스템을 표현하지 못한다. 따라서 Lee의 그래프 표현밥업으로는 적절한 구조 행렬을 직관적으로 구할 수 없다. 반면 제안하는 일반화된 그래프 방식으로는 구동기를 표현할 수 있으므로 전체적 인 시스템을 그래프로 표현가능하며, 결국 시스템의 구조 행렬 또한 얻을 수 있게 된다.

N-자유도의 텐던 기반 머니퓰레이터는 대부분 N개에서 2N개의 텐던으로 구동될 수 있다. 그 중에서도 N, N+1, 그 리고 2N개의 텐던으로 구성된 경우가 특히 주목할 만 하 다. N구조는 N개의 텐던(N개의 구동기)을 이용하여 N자유 도를 구동시키는 1 대 1 시스템이며, 폐곡선형 텐던에 의 해서 양방향 무한 (endless) 회전이 가능하게 된다. N+1구조 는 N+1개의 끌어당기는 텐던만으로 구동되는 (open-ended) 시스템으로서 이때 텐던의 끌어당기는 조합을 써서 N개의 머니풀레이터 관절을 구동시킨다. 끌어당기는 힘만을 제공 하는 텐던구동에서는 N+1개의 텐던이 N관절을 구동시키 는 최소 텐던 수가 된다. N+1개보다 많은 수의 텐던을 써 서 N 관절을 구동시킨다면 잉여의 입력 자유도가 존재할 수 있으므로, 많은 수의 다양한 텐던 조합으로 동일한 로 봇 머니풀레이터의 관절운동을 발생시킬 수 있다.

각각의 경우에 대하여 텐던을 당기는 힘 F와 관절에 작 용하는 토크를 τ 라 할 때, 가상일 조건을 적용하면 다음 과 같은 관계식을 갖는다.

N구조는 여유자유도가 없기 때문에 원하는 토크에 대한 텐던 입력은 단순히 다음과 같은 관계를 가진다.

이러한 N구조의 경우 장력을 조절해 줄 수 없기 때문에 원하는 토크를 제어할 수 없다. 당기는 힘으로 구동되는 open-ended N+1 구조의 경우 여유자유도가 역시 존재하지 않는다. 다만 수학적으로 유일한 F 의 해가 존재하지 않 고 다음처럼 1차원의 homogeneous 해 f_h 를 가진다^[12].

여기서 (A^T)^†는 A^T 의 유사 역행렬이다. 위 해에서 f_h 의 각 원소가 같은 부호를 가져야만 합당한 open-ended N+1구 조가 된다. (그 이유는 텐던이 한 방향으로 밖에 제어할 수 없기 때문이다.) 만약 N+1구조에서 무한궤도 방식의 연결 구조와 혼합된 형태를 가진다면 f_h 의 원소 중, 무한궤도 방식의 연결구조에 의해 입력되는 힘의 원소를 제외한 나 머지 원소가 모두 같은 부호를 가져야 한다. 그 이유는, 무 한궤도는 양방향 제어가 가능하기 때문이다. 마지막으로, N+1보다 많은 수의 텐던을 통한 open-ended 구조의 경우에 는 homogeneous 해를 구성하는 기저 벡터가 여러 개가 될 수 있다^[13]. 중요한 것은 이때에도 역시 homogeneous 해의 모든 원소가 동일한 부호를 가져야 한다.

N+1의 구조에 대한 텐던 기반 머니퓰레이터는 텐던이 언제나 잡아당기는 양의 값을 가져야 안정한 구조를 유지 할 수 있다. 따라서 식(7)에서 적절한 λ 를 정의하여 언제 나 텐던의 장력이 양의 값을 유지하도록 할 필요가 있다. 만약 λ 를 다음과 같이 정의한다면,

여기서 ( )_j 는 j번째 low를 의미한다. (단 구동기가 직접 연결된 경우나 무한궤도로 연결된 경우에 대한 열은 제외 한다.). 이 값은 모든 장력이 0이상이 되기 위한 최소 λ 를 의미한다. 이와 마찬가지로 N+1 이상의 구조에 대해서 모 든 장력이 0 이상인 최적화 해를 찾아야 한다.

Fig. 4(a)는 독일의 DLR hand^[2]를 보여주고 있는데, 각 손 가락은 2N개의 텐던으로 구동되고, 각각의 관절은 두 개의 텐던의 당김을 통해서 제어가 된다. Fig. 4(b)는 DLR hand의 하나의 손가락에 대한 그래프 표현이다. Fig. 4(b)를 통해서 텐던 연결 토폴로지 행렬은 다음과 같이 얻어지게 된다.

여기서 텐던 연결 토폴로지 행렬 B는 4개의 랭크를 갖게 되며, 식 (7)과 마찬가지로 homogeneous 해를 만드는 4개의 기저 벡터를 생성한다.

Fig. 5(a)는 WAM 로봇팔을 보여 주고 있으며, N개의 endless 텐던에 의해 제어가 된다. Fig. 5(b)는 이것의 그래프 표현이다. Fig. 5(b)를 통해 텐던 연결 토폴로지 행렬은 다음 과 같이 얻어지게 된다.

그래프에서 보는 바와 같이 m₂ 와 m₃ 는 서로의 조합을 써서 어깨부분의 롤 피치 운동을 발생시키며, 유사하게 손 목 부위에서도 m₅ 와 m₆ 의 구동 조합에 의해 롤 피치가 가능하게 된다. WAM의 경우 endless 텐던 구동이므로 구 동기와 로봇 관절의 운동이 1 대 1로 연결되며 추가적인 자유도는 없다.

Fig. 6(a)는 다빈치 수술로봇^[7]의 수술 기구부로서, 내부 를 살펴보면 4개의 endless방식 텐던에 의해 제어가 된다. 이 수술 기구의 텐던들은 수술기구 내부에서 서로 couple 되지 않고 단순하게 연결되어 있어서 Fig. 6(b)와 같은 단순 한 그래프로 표현된다. 그리고 Fig. 6(b)를 통해 텐던 연결 토폴로지 행렬은 다음과 같이 얻어지게 된다.