연속체 로봇의 기본적인 기구학에 대해서 알아보기로 한다. 본 연구에서 제안된 연속체 로봇은 굴곡 변화가 발생하는 탄성체와, 그 탄성체 안에 삽입되는 구동 와이어로 이루어졌다. 편의상, 본 논문에서는 탄성체를 빔이라고 부르도록 한다. [Fig. 2(a)]와 같이, 유클리디안 공간 상에서, 빔이 x-z 평면에 있을 때 각도 ϕ 만큼 굴곡이 발생한다고 가정하자. 그러면 연속체 로봇의 끝단 x-y-z축 좌표는(r(1-cosϕ), 0, rsinϕ)가 된다. 다시 x-z 평면상에 놓인 빔이 x’-z축으로 각도 θ 만큼 회전할 경우, 연속체 로봇 끝단의 좌표는, 베이스 좌표에서부터 말단부위까지, 아래와 같은 변환 행렬로 표현할 수 있다.

[Fig. 2] 
(a) Coordinates of the continuum manipulator in x-z plane, (b) Rotation of the continuum manipulator with the angle of θ

여기에서 R_y (ϕ) ∈ SO(3)이고, +y축으로 회전함을 의미하는 회전 행렬이다. 식 (1)에 곡률을 나타내는 변수로 표현을 한다면, 곡률 κ와 곡률 반경 r과의 관계는 아래와 같이 표현된다.

또한 연속체 빔의 길이가 ℓ인 경우, 빔의 구간 0에서부터 ℓ까지 범위에서, 임의의 점에서의 빔의 길이를 s라고 가정하면,

그러면 식 (1)~(3)을 이용하여, 연속체 빔의 길이가 s이고 x-z평면 상에서 각도 ϕ만큼 굴곡이 발생하고, 연속체 빔의 기저부에서 각도 θ만큼 회전하였을 경우, 변환행렬은 아래와 같다.

이러한 변환은 다양한 방법으로 계산이 될 수 있고, Denavit-Hartenburg (D-H) 파라미터를 이용하는 방법이나 지수 함수를 이용한 방법, Frenet-Serret 좌표축을 활용한 방법 등이 있다^[12].

본 논문에서 제안된 연속체 로봇은 굴곡 부위의 벽에 4개의 구멍이 뚫려 있어, 이 안으로 구동 와이어가 삽입되는 구조이다. 복잡한 4개의 구동와이어의 모델링을 다루기 전에, 가장 간단한 단일 와이어로 구동이 되는 연속체 로봇을 모델링 해본다. 단일 와이어 구동에 대한 역학 모델링은 Camarillo와 Oliver-Butler의 단일 와이어 구동에 대한 내용을 참고하였다^[13,14]. 단일 와이어 구동에 대한 내용은 이후 외력에 대한 형상 변화에 대한 모델링의 기초가 된다. [Fig. 3]과 같이 한 가닥의 구동 와이어를 잡아당길 경우, 한 쪽으로 휘어지는 굴곡 형상이 나타난다. 이를 기구학적으로 모델링하기 위해서, 아래와 같은 가정을 하기로 한다^[13].

[Fig. 3] 
Bending shape of the continuum manipulator with a single actuation

• 1) 굴곡형상은 일정한 상수의 곡률을 가진다.
• 2) 굴곡이 일어날 때, 단면의 형상은 항상 일정하다.
• 3) 탄성체는 압축 및 벤딩 응력을 받지만, 압축으로 인한 변형은 무시한다.
• 4) 구동 와이어는 늘어나지 않는다.

이와 같은 가정을 하는 이유는, 탄성체의 특성상, 비선형적인 거동으로 인해 기구학 모델링이 어렵고, 전통적인 캔틸레버 빔 이론을 이용하여 연속체 로봇의 굴곡 변화를 단순하게 모델링하기 위함이다. 구동 와이어의 늘어남이나 빔의 이력 현상, 공간 상에서 연속체 로봇의 구동은 본 논문에서는 다루지 않고, 여기에서는 연속체 로봇의 기본적인 역학 모델링 및 외력에 대한 형상 변화에 대해서 다루기로 한다.

구동 와이어를 잡아당기게 되면, 연속체 로봇의 빔은 일정한 곡률 반경을 가지고 형상이 회전하게 된다. 식 (2)와 같이 곡률을 정의하였고, 곡률은 다시 아래와 같이 표현이 될 수 있다.

[Fig. 3]과 같이 구동 와이어는 중심 축에서 일정한 거리만큼 떨어진 거리에 있고, 선형적인 모델이라는 가정 상, 중심 축과 평행하게 구동 와이어가 놓이게 된다. 그리고 구동 와이어에는 인장력만이 걸리고 그 장력은 와이어의 길이에 따라 일정하게 분포한다고 가정한다. 구동 와이어는 빔 안에 놓여 지기 때문에 길이 방향에 수직인 분포하중을 받게 된다[Fig. 4].

[Fig. 4] 
Free body diagram of the cross section of the continuum manipulator

[Fig. 3]과 같이 왼쪽으로 휘어진 빔과 와이어의 정역학적 평형 상태를 알아보기로 한다. [Fig. 3]의 와이어의 미소영역에서, 와이어가 빔에 놓인 수직방향으로 dF_w가 작용하고, 미소성분에서의 와이어는 양쪽으로 장력 T 만큼 잡아당겨진다. 따라서, 미소영역의 평형상태는 아래의 식과 같다.

식 (5)와 (6)을 이용하여, [Fig. 4]의 분포하중 w(s)는 아래와 같이 표현된다.

여기에서 κ_t는 와이어의 곡선 모양의 곡률 상수이다. 와이어의 단위길이당 힘 w(s)는 앞에서의 가정 1)-4)을 통해서 일정함을 알 수 있다. 이제 빔과 와이어를 모두 고려한 [Fig. 4]에 대해서 알아본다. 와이어에 작용하는 힘은 양 끝단에 작용하는 장력 T 가 된다. 여기에서 마찰이나 중력에 대한 힘은 장력 T에 비해서는 매우 작기 때문에 무시하기로 한다. 이제 빔에 작용하는 여러 힘에 대해서 힘과 모멘트 평형상태를 알아보기로 한다. 먼저 휘어진 빔 안에 놓인 와이어의 전체 길이에 작용하는 분포 하중 w(s)와 동일한 짝 힘 F_eq를 계산해 보기로 한다. 기저 좌표축에 대해서 w(s)는 아래와 같이 계산 된다.

적분을 이용하여 와이어의 모든 길이에 대한 짝 힘 F_eq를 아래와 같이 계산할 수 있다.

[Fig. 4]의 오른쪽 그림에서, 짝 힘 F_eq는 양 끝단에 작용하는 장력의 연장선이 교차하는 점에 놓일 수 있다. 그리고 짝 힘의 방향에 의하여 이 연장선이 동일한 각도로 양분되며, 와이어는 힘과 모멘트의 평형상태가 이루어지게 된다. 빔에도 이와 동일한 짝 힘 F_eq이 전달되므로, 전체 힘과 모멘트의 평형을 알기 위해 이 점의 위치를 계산하면 아래와 같다.

여기에서 r_t는 와이어의 끝단 위치 좌표이고, r_eq는 와이어의 중간 위치 좌표이다. 힘과 모멘트에 대한 정역학적 평형 상태를 이용하여 빔에 작용하는 힘과 모멘트를 아래와 같이 구할 수 있다.

기저 좌표의 원점에서 모멘트 방정식은 아래와 같이 계산 된다.

식 (11)과 (12)에서, F_r과 M_r은 [Fig. 4]에서 빔의 기저부에 작용하는 힘과 모멘트이다. 식 (11)과 (12)에서 알 수 있듯이, 정역학적 평형상태에서는 빔의 각도 ϕ에 상관없이 항상 방정식의 값이 0이 될 수 있음을 알 수 있다. 빔의 각도를 알기 위해서는 빔의 탄성 계수 E와 관성 모멘트 I를 고려한 휨(bending)에 관한 방정식을 도입해야 한다.

연속체 로봇의 끝단에 측면 방향으로 외력이 작용하는 경우에 대해서 알아보기로 한다. [Fig. 5]와 같이 연속체 로봇의 끝단에 외력 f 가 작용하고, 구동 와이어는 길이가 고정된 경우에 대해서 알아보자. 연속체 로봇의 빔은 처음에는 외력의 방향으로 회전하다가, 구동 와이어의 길이가 고정이 되어 있기 때문에, 이를 보상해 주기 위해 말단 부분은 외력의 반대 방향으로 회전하게 된다. 따라서 전체적으로 S 자 형태의 굴곡이 발생하게 된다. 연속체 로봇의 구동 와이어가 모터에 의해 그 길이가 고정되어 있을 경우 측면 힘이 가해지면, 기저부에서 볼록한 아크 형태의 모양이 발생하고, 말단부에서는 오목한 반대 방향의 아크 모양이 발생한다. 이를 S자 굴곡이라고 한다. 이는 기저부에서 줄어든 길이만큼 말단부에서는 펴지는 길이가 존재하기 때문이다. 그 합은 양쪽 와이어 모두 0이고, 이 때의 형상은 대칭성을 가지는 S자 굴곡이 된다. 늘어나지 않는 구동 와이어는 모두 동일한 토크를 기저부에서 말단부로 전달하기 때문에 대칭성을 이룬다고 가정한다. 가정 4)에 의해서 구동 와이어는 늘어나지 않고, 길이가 고정이 되어 있기 때문에, S 자 굴곡이 이루어지게 되어도 항상 길이는 고정이 된다. 두 가닥의 와이어에는 장력 T 가 작용하고, S 자 굴곡을 따라서 분포 하중이 일정하게 작용한다. [Fig. 4]와는 달리 연속체 빔의 끝단에 힘이 작용하지 않는 이유는 빔과 구동 와이어를 하나의 몸체로 생각할 경우, 그 힘이 상쇄되기 때문이다. 이 때 와이어가 빔에 작용하는 힘은 분포 하중과 동일한 F_1L, F_1R, F_2L, F_2R이다.

[Fig. 5] 
Free body diagram of the S-shape bending of the continuum manipulator

빔의 기저 부분에서는 힘 F_x, F_y과 모멘트 M_o가 모두 작용한다. 기저부의 장력 T은 상쇄되지 않는 힘이기 때문에, 기저부에 표시되었다. 앞서 가정한 내용과 같이, 빔은 일정한 곡률로 회전하고 와이어는 늘어나지 않고 길이가 일정하기 때문에 S 자 굴곡의 각도는 모두 ϕ가 된다. 정역학적 평형 상태를 이용하여, 기저 부분에 발생하는 힘과 모멘트를 구해 본다. 식 (8)과 (9)를 이용하여 기저축에서 x 축방향으로 d 만큼 떨어져 있는 와이어의 힘 F_1L, F_1R은 아래와 같다.

힘 F_2L, F_2R은 [Fig. 5]와 같이 방향만 다른 동일한 성분이다.

이러한 힘들이 작용하는 점 P_1L, P_1R, P_2L, P_2R의 좌표는 아래와 같이 구할 수 있다.

점 P_2L, P_2R의 좌표는 아래와 같은 변환 행렬 T_2L, T_2R을 사용하면 편리하다.

이를 풀이하면 점들의 좌표는 아래와 같다.

힘의 평형 상태를 이용하여 F_x, F_y를 계산할 수 있다.

결국 분포하중으로 얻어진 힘은 내부적인 힘이기 때문에 합력이 0이 되고 기저부에 가해지는 힘은 식 (18)과 같이 구해질 수 있다. 이 때 기저부에 발생하는 모멘트는 아래와 같다. 벡터로 계산된 점 P_1L, P_1R, P_2L, P_2R의 좌표를 이용하여 스칼라형태의 모멘트 암의 길이와 힘의 크기를 구하면 편리하다.

식 (19)에서 기저부에 발생하는 모멘트는 외력 f, 장력 T에 비례한다. 식 (12)와 같이 순수하게 장력 T와 거리 d의 곱에 의해 발생하는 모멘트와는 달리, 외력이 작용하기 때문에, 만약 기저부가 고정이 되거나 단단한 경성 샤프트가 아니라 유연한 재질의 샤프트를 사용하게 된다면, 외력이 달라짐에 따라 모멘트 변화가 발생되어 기저부의 샤프트가 휘어지는 요인으로 작용한다. 다음 장에서는 연속체 로봇의 물성치를 이용하여 외력에 의해 변화된 형상을 정량적으로 구해본다.

구동 와이어의 길이가 고정이 되고, 측면 외력이 가해질 경우 연속체 로봇은 S 자 형태로 구부러진다. 이러한 경우에는 연속체 로봇을 구성하고 있는 재료의 물성치를 알면 연속체 로봇의 형상을 예측할 수 있다. Camarillo 등은 연속체 로봇의 물성치를 알기 위해, 직접 축 방향 및 휨 방향 강성 계수를 실험을 통해 구하였다^[13]. 이는 연속체 로봇의 재료가 복잡할 경우, 강성 계수를 쉽게 구할 수 있다는 장점이 있지만, 실험 환경 이나 셋팅, 측정 방법 등에 따라 강성 계수 값이 달라질 수 있는 단점이 있다. Oliver-Butler 등은 전통적인 캔틸레버 빔 이론을 이용하여 형상 변화를 모델링하였다^[14]. 하지만 구동 와이어의 분포 하중을 고려하지 않았고, 장력이나 곡률과 같은 연속체 로봇의 파라미터들이 빠져 있다. 본 논문에서는 가상 일 및 내부 에너지 증가라는 새로운 관점에서 형상을 분석해 보고자 한다.

가상 일은 외력이 한 일과, 연속체 로봇의 구동 와이어가 빔에게 전달하는 분포 하중이 한 일 두가지로 구분이 될 수 있다. 외력이 한 일 W₁은 다음과 같다.

구동 와이어에서 발생한 일정한 분포 하중은 임의의 각도 ϕ에서 식 (7)에서 설명된 것처럼 w(s)가 된다. S 자로 휘어진 빔에서 반쪽 형태에 대해서만 고려해 볼 때, 스칼라 형태로 표현한 분포 하중은 아래와 같다.

w₁은 빔의 S자 굴곡에서 아래부분에서의 전체분포 하중이 된다. 구동 와이어의 거리 d는 R_c에 비해서 매우 작은 값이기 때문에 식 (21)과 같이 근사화가 가능하다. 분포 하중으로 인해 연속체 로봇의 빔이 변형된 거리를 각도 ϕ로 나타내면 다음과 같다.

분포 하중을 이용한 가상 일은 아래와 같다. S 자로 변형된 빔의 절반에 대해서 이루어진 가상 일이 2배이면 전체 일이 된다.

외력이 한 일 W₁과 분포하중이 한 일 W₂의 합은 모두 연속체 로봇의 빔이 휨 변형을 해서 늘어난 에너지 증가량과 동일하다. 구동 와이어의 경우 이상적인 늘어나지 않는 와이어로 가정하였기 때문에 구동 와이어의 휨 변형으로 인해 늘어난 에너지는 고려하지 않는다. 빔의 늘어난 에너지를 U라고 하고, 탄성 계수를 E, 관성 모멘트를 I라고 하면, 캔틸레버 빔 이론에서 증가된 내부 에너지는 아래와 같다. S 자 굴곡으로 변형이 발생하기 때문에 길이가 절반인 2개의 캔틸레버 빔이 휨을 받게 된다. 따라서,

캔틸레버 빔이 균일한 분포하중을 받을 경우, 식 (24)에서 모멘트 M은 아래와 같이 표현된다.

식 (24)와 (25)를 풀어주면 아래와 같은 식이 얻어진다.

여기에서 빔의 길이 L=2R_cϕ_c가 된다. 빔의 길이는 알고 있는 치수이기 때문에, 곡률반경 R_c는 ϕ_c로 나타낼 수 있다. 따라서 식 (20), (23), (26)을 이용하여 각도 ϕ_c를 얻을 수 있다.

각도 ϕ_c를 제외한 나머지 변수들은 정역학적인 평형 상태일 때, 모두 상수로 표현이 될 수 있다. 식 (27)은 각도 ϕ_c에 대해서 비선형 방정식이기 때문에 수치해석적인 방법을 이용하여 풀어야 한다. MATLAB의 fsolve 함수를 이용하여 식 (27)을 풀었다. 본 논문에서 제작된 로봇 카테터의 치수를 참고하여, 페박스 재질의 탄성 계수 E=20 N/mm 가 주어지고 관성 모멘트 I=20.15 mm⁴ 으로 주어졌다. 장력 T=3 N, 전체 길이 L=50 mm이고, 외력 f는 0.1 N에서 0.4 N까지 0.1 N씩 변화시켜 보았다. 먼저 식 (27)의 수렴 가능성을 확인하고자, 외력의 합계와 내부 에너지에 관한 그래프를 작성하였다[Fig. 6]. 외력의 합계와 내부 에너지는 각각 원점을 지나는 포물선 형태를 지니고, 한 점에서 교차하기 때문에 각도 ϕ_c의 값이 존재함을 확인하였다. 또한 이 식에서 얻어진 각도 ϕ_c를 통해 재구성된 빔의 형상은 Oliver-Butler 등이 제시한 빔의 형상에 관한 식 (28)과 비교해 본다[14]. 계산된 각도값을 이용하여, 식 (4)를 이용하여 연속체 로봇의 형상을 도시하였다. 이는 [Fig. 7]과 같다.

[Fig. 6] 
A graph about the virtual work and the internal energy

[Fig. 7] 
Shape deformations calculated by the conventional method and the proposed method

식 (28)에서 δ(x)은 빔의 길이 방향(x축)으로 처짐 길이를 나타낸다.

[Fig. 7]과 같이 전통 캔틸레버 빔 이론을 이용한 방식과 본 논문에서 제안된 가상 일-에너지 방식을 이용하여 계산된 연속체 로봇의 형상에 관한 그래프를 볼 수 있다. 이 그래프는 외력을 0.1 N 에서 0.4 N 까지 0.1 N 만큼 증가시켰을 때, 연속체 로봇 빔의 형상을 도시하였다.

전통적인 방식과 본 논문에서 제안된 방식에서 얻어진 형상은 중간 부분으로 갈수록 거리 차이가 커진다. 이는 본 논문에서는 대칭성을 이용하여 빔의 형상을 얻었기 때문이다. 대칭성을 이용하면 외력에 대한 강성 계산이 용이해지는 데^[11], 본 논문에서도 대칭성을 이용하여 내부 힘을 용이하게 계산하였다. 하지만 이러한 대칭성이 실제의 연속체 로봇의 형상을 잘 따라가는 지는 실험을 통해서 좀더 확인해 보아야 할 것이다.

반면에 전통적인 방식에서 계산된 x축(측면) 변위 좌표와 본 논문에서 제안된 방식으로 계산된 x축(측면) 변위 좌표는 비슷함을 알 수 있다. 외력 0.4 N, 휨 각도가 27.6도였을 때 변위 차이는 1.62 mm, 오차율은 15.9% 이고, 외력 0.1 N, 휨 각도가 7.2도 인 경우에 변위 차이는 0.596 mm, 오차율은 23.4% 였다. 전통적인 방식은 미소 변화 시에 좀더 알맞기 때문에, 휨으로 인한 변형 각도가 10도 이하일 경우에는 본 논문에서 제안한 방식과 약 0.8 mm 변위 오차, 오차율은 22.9% 를 가지게 된다. 본 논문에서 제작된 연속체 로봇은 부정맥 시술용에 적합한 크기로 개발이 되었기 때문에, 길이 50 mm의 연속체 로봇의 측면 외력에 대한 강성 예측 시, 변형 각도가 약 12도 이하일 경우에는 1 mm 이하의 오차를 가지게 된다. 대체적으로 1 mm 안의 오차를 허용한다면, 부정맥 시술 시뮬레이션 시에는 전통적인 방법의 강성 예측 방법과 결과가 비슷하게 나오기 때문에, 본 논문에서 제안된 방법으로도 강성 예측을 할 수 있을 것이다. 또한 외부 힘이 3차원의 힘일 경우, 연속체 로봇이 가지게 되는 형상에 대해서도 추가적으로 분석해 볼 예정이다. 시뮬레이션만이 아니라, 3차원의 힘에 대한 다양한 실험을 통해서 본 논문에서 제안된 방법을 검증해 볼 예정이다.