다중 에이전트 모바일 로봇 대형제어를 위한 유한시간 슬라이딩 모드 제어기 설계

3.1. 다중 에이전트 WMR의 통합된 기구학 및 동적 모델

Fig. 1의 i 번째 WMR은 양쪽 면에 구동 바퀴가 있고 전면 P점에 dummy 바퀴가 부착되어 있다. 기하학식은 식 (2)와 같이 주어진다. Table 2는 각 용어에 대한 설명 을 나타낸다.T1

Fig. 1

Nonholonomic differentially driven WMR

Table 1

Nomenclature

Table 2

RMS tracking error

여기서 $$ J_i\left({\theta }_i\right)={\left[\begin{array}{ccc}\text{cos\hspace{0.17em}}{\theta }_i& \sin {\theta }_i& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]}^T$$ 는 WMR 좌표의 속도 $$ V_i={\left[v_i{\omega }_i\right]}^T$$ 에서 Cartesian 좌표의 속도 $$ {\dot{q}}_i={\left[{\dot{r}}_{xi}{\dot{r}}_{yi}{\dot{\theta }}_i\right]}^T$$ 로 변환시켜 주는 Jacobian 행렬이다.

Nonholonomic 구속 조건은 다음과 같다.M3

여기서 $$ A_i^T\left(q_i\right)={\left[-\text{sin\hspace{0.17em}}{\theta }_i\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}cos\hspace{0.17em}}{\theta }_{i}0\right]}^T$$. Nonholonomic 구속을 갖는 동적 방정식 Lagrange-Euler 방정식을 이용하여 구 하면 다음과 같이 주어진다.

여기서, $$ {\tau }_{di}\in R^{3\times 1}$$ 는 외란, $$ {\lambda }_i\in R$$ 는 Lagrange multiplier, $$ {\tau }_i={\left[{\tau }_r{\tau }_l\right]}^T$$ 는 바퀴를 구동하는 토크이고 $$ M_i\left(q_i\right)\in R^{3\times 3}$$ 과 $$ B_i\left(q_i\right)\in R^{3\times 2}$$ 는 다음과 같이 주어진다.

$$ J_i^T\left(q_i\right)A_i^T\left(q_i\right)=0$$ 이므로 $$ J_i^T\left(q_i\right)$$ 를 식 (4)에 곱하고 외란 을 무시하면 다음을 얻는다.

Fig. 1에 주어진 WMR의 heading 위치는 다음과 같다.

식 (6)을 2번 미분하면

식 (5)를 식 (7)에 대입하고 정리하면

또는M9

여기서 $$ T_i=\frac{1}{r_i}\left[\begin{array}{cc}\frac{\text{cos\hspace{0.17em}}{\theta }_i}{m_i}-\frac{L_i{R}_i\text{sin\hspace{0.17em}}{\theta }_i}{I_i}& \frac{\text{cos\hspace{0.17em}}{\theta }_i}{m_i}+\frac{L_i{R}_i\text{sin\hspace{0.17em}}{\theta }_i}{I_i}\\ \frac{\text{sin\hspace{0.17em}}{\theta }_i}{m_i}+\frac{L_i{R}_i\text{\hspace{0.17em}cos\hspace{0.17em}}{\theta }_i}{I_i}& \frac{\text{sin\hspace{0.17em}}{\theta }_i}{m_i}-\frac{L_i{R}_i\text{\hspace{0.17em}cos\hspace{0.17em}}{\theta }_i}{I_i}\end{array}\right],$$

$$ d_i={\left[d_{xi}{d}_{yi}\right]}^T,\left[\begin{array}{c}{d}_{xi}\\ d_{yi}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-\text{sin\hspace{0.17em}}{\theta }_i{\omega }_i{v}_i-L_i\text{\hspace{0.17em}cos}{\theta }_i{\omega }_i^2\\ \text{cos\hspace{0.17em}}{\theta }_i{\omega }_i{v}_i-L_i\text{\hspace{0.17em}sin}{\theta }_i{\omega }_i^2\end{array}\right].$$

i번째 추종 WMR과 선도 WMR의 상태공간 모델은 다음과 같이 표현된다.

여기서 $$ x_{i1}=h_i,x_{i2}={\dot{h}}_i,u_i={\tau }_i={\left[{\tau }_{ri}{\tau }_{li}\right]}^T,x_l={\left[x_{lx}{x}_{ly}\right]}^T,u_l={\left[u_{lx}{u}_{ly}\right]}^T$$, T_l 과 d_l 는 추종 WMR과 동일한 구조를 갖 는다. 식 (10)에서 d_i 는 조건 , 으로 가 정하며 δ_i 는 미지의 상수이다. 일치제어 알고리즘에 의해 위치 오차함수와 속도오차함수는 다음과 같이 주어진다.

여기서, b_i 는 i번째 추종WMR과 선도 WMR사이의 가중 치이다. 그리고 $$ E_c={\left[E_{c1},\cdots ,E_{cn}\right]}^T\in R^{2n}$$, $$ E_{ci}={\left[e_{cxi}{e}_{cyi}\right]}^T$$, $$ e_{cxi}={\displaystyle \sum _{i=1}^n{a}_{ij}\left(h_{xi}-h_{xj}\right)+b_i\left(h_{xi}-h_{xl}\right)}$$, $$ e_{cyi}={\displaystyle \sum _{j=1}^n{a}_{ij}\left(h_{yi}-h_{yj}\right)+b_i\left(h_{yi}-h_{yl}\right)}$$, $$ {\dot{E}}_c={\left[{\dot{E}}_{c1},\cdots ,{\dot{E}}_{cn}\right]}^T\in R^{2n}$$, $$ X_1={\left[x_{11}^T,\cdots ,x_{n1}^T\right]}^T\in R^{2n}$$, $$ X_2={\left[x_{12}^T,\cdots ,x_{n2}^T\right]}^T\in R^{2n}$$, $$ X_l={\left[x_{l1}^T,\cdots ,X_{\ln }^T\right]}^T\in R^{2n}$$ 로 정의하면 식 (12), (13)은 다음과 같은 간결한 형태로 표현된다.M15

여기서

정리 1[1]. directed graph $$ \mathcal{G}=\left(\mathcal{V},\mathcal{\epsilon }\right)$$ 에 대해 Laplacian 행렬 $$ \mathcal{L}$$ 은 한 개의 0인 고유값을 가지며 열린 우반평면 에서 0이 아닌 모든 고유값들이 존재한다.

정리 2^[1,4]. 식 (10), (11)에 주어진 선도-추종 WMR시 스템을 고려하자. 만일 directed graph $$ \mathcal{G}=\left(\mathcal{V},\mathcal{\epsilon }\right)$$가 directed spanning tree를 갖고 E_c = 0_2n 이면M16

이 성립한다.

증명: 식 (14)에서 E_c = 0_2n 이면

$$ \overline{ℒ}$$ 의 행의 합은 0이므로 $$ \left[\left(\mathcal{L}{\mathbf{1}}_n\right)\times \otimes {\mathbf{\text{I}}}_2\right]={\mathbf{\text{0}}}_{2n}$$ 이고 식 (17) 의 우변은 $$ \left(\overline{\mathcal{B}}{\mathbf{1}}_n\otimes {\mathbf{\text{I}}}_2\right)X_l=\left[\left(\overline{\mathcal{L}}+\overline{\mathcal{B}}\right){\mathbf{1}}_n\otimes {\mathbf{\text{I}}}_2\right],X_l=\left[\left(\overline{\mathcal{L}}+\overline{\mathcal{B}}\right)\otimes {\mathbf{\text{I}}}_2\right]X_1$$ 이 된다. $$ b={\left[b_1,\cdots ,b_n\right]}^T$$ 를 정의하고 행렬을 확장하 면 $$ {\mathcal{M}}_{n\times n+1}=\left[\overline{\mathcal{L}}+\overline{\mathcal{B}}-b\right]$$ 이 되고 확장된 Laplacian 행렬 은 다음과 같이 표현된다.M18

만일 $$ \mathcal{L}$$ 이 directed spanning tree를 갖고 $$ \text{Rank}\left(\mathcal{L}\right)=n$$ 이면 $$ \text{Rank}\left({\mathcal{M}}_{n\times n+1}\right)=n$$ 이다. $$ \left(\overline{\mathcal{L}}{\mathbf{\text{1}}}_n\right)\otimes {\mathbf{\text{I}}}_2=0$$ 이므로

이것은$$ \left(\overline{\mathcal{L}}+\overline{\mathcal{\beta }}\right)$$ 의 역행렬이 존재함을 의미하고 식 (19)는 다음과 같이 다시 표현된다.M20

그러므로 다음을 얻을 수 있다.M21

이것은 E_c = 0_2n 일 때 추종 WMR의 모든 위치와 방향 이 선도 WMR의 위치와 방향에 대해 일치 제어가 성취 됨을 의미한다.

이러한 일치제어에 대한 결과를 대형제어에 대해 적 용하면 오차함수는 다음과 같이 표현된다.M22

여기서 $$ E_f={\left[E_{f1},\cdots ,E_{fn}\right]}^T,{\Lambda }_f={\left[{\Lambda }_1,\cdots ,{\Lambda }_{2n}\right]}^T\in R^{2n}$$. 대형 제어에서 방향 graph $$ \mathcal{G}=\left(\mathcal{\upsilon },\mathcal{\epsilon }\right)$$ 가 $$ E_f={\mathbf{0}}_{2n},\left(\overline{\mathcal{L}}{\mathbf{1}}_n\right)\otimes {\mathbf{\text{I}}}_2={\mathbf{0}}_{2n}$$ 이면M23

이 성립하고 일치제어와 마찬가지로M24

을 얻을 수 있다.

3.2. 다중 에이전트 WMR에 대한 유한시간 슬라이딩 모드 제어기 설계

식 (8)에서 다음을 가정한다.

여기서 $$ {\rho }_i=\left(2{\mathcal{d}}_i+b_i\right){\delta }_i>0$$ 로 정의한다. 다음과 같은 i번 째 WMR에 대해 적분형 유한시간 슬라이딩면 벡터 $$ S_{ci}={\left[s_{cix}{s}_{ciy}\right]}^T$$ 을 정의한다.

여기서 $$ c_{1i}=diag\left(c_{1ix},c_{1iy}\right)>0,c_{2i}=diag\left(c_{2ix},c_{2iy}\right)>0,$$ 는 상수이다. 다음을 정의한다/

여기서 와 $$ {\kappa }_i>0$$ 는 상수이다. 식 (26)를 미분하고 식 (27)을 고려하면

식 (28)로부터 i번째 WMR에 대한 유한시간 슬라이딩 모드 제어기와 적응법칙은 다음과 같이 제안한다.

여기서 η_i > 0 와 $$ {{\eta }^{\prime }}_i>0$$ 는 상수이다.

3.3. 안정도 해석 및 유한시간 성능지표 유도

다음의 리아프노프 함수를 정의한다.

여기서 $$ {\tilde{\rho }}_i={\rho }_i-{\widehat{\rho }}_i,{\widehat{\rho }}_i$$ 는 ρ_i의 추정값. 식 (31)을 미분하면

식 (29), (30)를 식 (32)에 대입하면

여기서 $$ {\mu }_i={\kappa }_i{\Vert {\rho }_i\Vert }^2/2,{\varsigma }_i=\text{min}\left(2c_{3i},{\kappa }_i/2\right)\cdot e^{{\varsigma }_{i}t}$$ 를 식 (33)에 곱하면 다음과 같이 표현된다.

식 (34)를 [0, t]에서 적분하면M35

따라서 리아프노프 안정도 이론에 의해서 폐루프 시 스템의 모든 신호들은 반 전역적으로 균일하게 한정 (semi-globally uniformly bounded)하게 된다.

보조정리 1. 유한시간 안정도에 대한 정의^[15]로부터 수 렴 유한시간 유도를 위한 확장된 리아프노프 확장 부등 식은 다음과 같이 표현된다.

$$ {\dot{V}}_i\left(S_i\right)\le -{\Lambda }_{1i}{V}_i\left(S_i\right)-{\Lambda }_{2i}{V}_i^{\chi /2}\left(S_i\right),$$

여기서 . 이 때 V_i(t) 는 평형점으 로 유한시간 t_fi 안에 수렴한다.

정리 2. 다중 WMR 시스템이 방향성 확장트리를 갖는 다고 가정한다. 제어입력 식 (29), 적응법칙 식 (30)과 함께 리아프노프 함수를 다음과 같이 정의한다.

식 (36)의 미분은 다음을 만족한다.M37M38

여기서 $$ \mu =\text{max}\left[{\mu }_1,\cdots ,{\mu }_n\right]$$. 그러면 선도-추종 WMR의 일 치제어에 대한 안정도가 보장되고 일치제어 목적은 유 한 시간 안에 달성된다.

증명:

• i)  식 (33)에서 $$ \rho =\widehat{\rho }$$ 이면 다음을 얻을 수 있다.M39
  

  $\[ {\dot{V}}_c\le -c_{3\text{min}}{V}_c-{c^{\prime }}_{4\text{min}}{V}_c^{\chi /2}, \]$

  (39)

  
  여기서 $$ c_{3\text{min}}=\text{min}\left[c_{31},\cdots ,c_{3n}\right],{c^{\prime }}_{4\text{min}}=\text{min}\left[2^{\chi }{c}_{41},\cdots ,2^{\chi }{c}_{4n}\right],\chi ={\gamma }_4+1$$+1. 따라서 모든 초기 조건으로부터 유한 시간 내에 평형점 S_c = 0 에 도달한다. 보조정리 1로부터 S_c(t) (E_c (t)) 는 다음으로 주어지는 유한 시간 t_fi 내에 0으로 수렴한다.M40
  

  $\[ t_{fi}=\frac{1}{c_{3\text{min}}\left(1-\chi /2\right)}\text{ln}\left(\frac{c_{3\text{min}}}{c_{4\text{min}}}{V}_i^{1-\chi /2}\left(S_{ci}\left(0\right)\right)+1\right),i=1,\cdots ,n, \]$

  (40)

• ii)  만일 ˆ ρ ≠ ρ 이면, 리아프노프 함수는

로 정의되고 성질 $$ a_1^p+a_2^p={\left(a_1^2\right)}^{p/2}+{\left(a_2^2\right)}^{p/2}+{\left(a_2^2\right)}^{p/2}\ge {\left(a_1^2+a_2^2\right)}^{p/2}$$ 를 이용하면

여기서 $$ {{\Lambda }^{\prime }}_{1i}=2c_{3i},{{\Lambda }^{\prime }}_{2i}=2^{\chi }{c}_{4i},{{\mu }^{\prime }}_i=\frac{c_{4i}}{{\eta }_i^{\chi }}{\Vert {\tilde{\rho }}_i\Vert }^{\chi }+\frac{c_{3i}}{{\eta }_i}{\Vert {\tilde{\rho }}_i\Vert }^2+{\mu }_i$$. 식 (42)는 다음과 같이 두가지 형태로 쓸 수 있다:

식 (43), (44)에서 만일 $$ {{\Lambda }^{\prime }}_{1i}$$ 와 $$ {{\Lambda }^{\prime }}_{2i}$$ 를 $$ {{\Lambda }^{\prime }}_{1i}>{{\mu }^{\prime }}_i/V_{ci},{{\Lambda }^{\prime }}_{2i}>{{\mu }^{\prime }}_i/V_{ci}^{\chi /2}$$ 가 되도록 선정하면 다음을 얻는다.M45M46

여기서 $$ {\Delta }_{1i}={{\Lambda }^{\prime }}_{1i}-{{\mu }^{\prime }}_i/V_{ci}>0,{\Delta }_{2i}={{\Lambda }^{\prime }}_{2i}-{{\mu }^{\prime }}_i/V_{ci}^{\chi /2}>0$$.

따라서 보조정리 1로부터 S_c(t) 는 유한 시간지표 $$ t_{fi}=\text{min}\left[t_{f1i},t_{f2i}\right]$$ 이내에 0으로 수렴한다. 이것은 또한 E_c 가 0으로 유한 시간 $$ t_{fi}=\text{min}\left[t_{f1i},t_{f2i}\right]$$ 내에 수렴함을 의미한다. 여기서