[ ARTICLE ]

Journal of Korea Robotics Society - Vol. 11, No. 2, pp.92-99

ISSN: 1975-6291 (Print) 2287-3961 (Online)

Print publication date May 2016

Received 14 Mar 2016 Revised 7 Apr 2016 Accepted 7 Apr 2016

DOI: https://doi.org/10.7746/jkros.2016.11.2.092

근사적 모델 역변환을 활용한 전기-유압 액추에이터의 적응 위치 제어기 설계

이경하¹ ; 백승국¹ ; 구자춘^†

Adaptive Position Controller Design of Electro-hydraulic Actuator Using Approximate Model Inversion

Kyeong Ha Lee¹ ; Seung Guk Baek¹ ; Ja Choon Koo^†

1Mechanical Engineering, Sungkyunkwan University kyungha90@skku.edu

†Corresponding Author : Mechanical Engineering, Sungkyunkwan University, Suwon, Korea ( jckoo@ skku.edu)

An electro-hydraulic actuator (EHA) is widely used in industrial motion systems and the increasing bandwidth of EHA position control is important issue. The model-inverse feedforward controller is known to extend the bandwidth of system. When the system has non-minimum phase (NMP) zeros, direct model inversion makes system unstable. To overcome this problem, an approximate model-inverse method is used. A representative approximate model inversion method is zero phase error tracking control (ZPETC). However, if zeros locate right half plane of z-plane, the approximate inverse model amplifies the high-frequency response. In this paper, to solve the problem of ZPETC, an adaptive model-inverse control is proposed. The adaptive algorithm updates feedforward term in real-time. The effectiveness of the proposed adaptive model-inverse position control strategy is verified by comparison with typical proportional-integral (PI) control and feedforward control by experiments. As a result, the proposed adaptive controller extends the bandwidth of EHA position control.

Keywords:

Electro-hydraulic Actuator, Adaptive Control, Approximate Model Inversion, ZPETC

1. 서 론

유압 시스템은 빠른 응답과 높은 출력을 낼 수 있어 로보틱스, 동적 시뮬레이션, 피로 테스트 등 많은 산업 현장에서 사용되고 있다^[1,2]. 이에 따라 퍼지 제어(fuzzy control), 슬라이딩 모드 제어(sliding mode control), 반복 제어(iterative control), 강인 제어(robust control) 등 전기- 유압 액추에이터(EHA: electro-hydraulic actuator)의 위 치제어에 관한 많은 연구가 진행 되고있지만^[3,4,5,6] 실제 산업현장에서는 설계와 구현이 간단한 PID (proportionalintegral- derivative) 제어기를 가장 많이 사용하고 있다^[7].

PID 제어기는 높은 비선형성을 가진 유압 시스템의 위치 제어에 간단히 적용할 수 있다는 장점이 있지만 고주파 영역에서의 실시간 위치제어를 하기에는 대역폭 (band width)이 충분하지 않다. 이 논문에서는 전기-유압 액추에이터의 고대역폭 위치제어를 위해 이러한 PID 제어 기의 좁은 대역폭을 모델 역변환(model inversion)을 활용 하여 보상하는 피드포워드 제어기(feedforward controller) 에 관하여 기술하고, 피드포워드 제어기를 설계할 때 시 스템 모델의 non-minimum phase (NMP) 영점(zero) 위치 로 인한 근사 모델 역변환(approximate model inversion) 방법과 이 방법의 문제를 실시간 적응제어를 통해 해결 하는 내용을 다룬다.

모델 기반의 피드포워드 제어기 또는 적응 제어기를 설계하기 위해 유압시스템의 모델이 필요하다. 유압 시 스템의 모델을 얻기 위해서는 이론적으로 모델을 도출 하는 방법^[8]과 실험적으로 모델을 도출하는 방법이 있다. 시스템의 불확실한 파라미터들 때문에 실험적 모델 도출 이 더 일반적인 방법이다. 실험적 모델을 얻기 위한 system identification 방법들로는 least mean squares (LMS) 방 법^[9,10]과 recursive least squares (RLS) 방법^[11,12,13], 상태 공간 모델^[14,15] 등이 연구에서 주로 활용되고 있다.

이 논문 에서는 RLS 방법을 사용하여 PID 제어기가 포함된 폐루프(closed-loop) 시스템의 모델을 도출 하였 다. 이를 위해 0.1 Hz에서 50 Hz의 주파수 성분을 가진 랜덤 신호를 기준 신호(reference signal)로 하여 폐루프 시스템에 인가하고, 얻어진 입출력 데이터와 RLS 방법 을 사용하여 선형 이산 전달함수를 도출하였다.

만약 도출된 선형 이산 전달함수의 영점이 z-domain 의 단위원(unit circle) 바깥에 존재할 때 단순 모델 역변 환을 구하면 전달함수의 NMP 영점들이 불안정한 극점 (pole)이 되므로 시스템이 불안정해 진다. NMP 영점들 은 빠른 샘플링타임(sampling time)이나^[16] 신호 전달 지 연^[17] 등으로 인하여 생긴다. NMP 전달함수의 근사적 모델 역변환을 구하기 위해서 가장 많이 쓰이는 방법은 zero phase error tracking control(ZPETC) 방법^[18,19]이다. 하지만 영점이 단위원 바깥이면서 z-plane의 우방면(양 의 실수)에 존재한다면 ZPETC 방법은 고주파 영역에서 신호를 증폭시키기 때문에 안정적인 사용이 어렵다^[20]. 우리는 이 문제를 해결하기 위해 고정된 피드포워드 제 어기를 사용하는 것이 아닌, 기준 신호와 시스템의 상태 에 따라 파라미터를 업데이트하는 적응제어기를 설계함 으로써 해결하였다.

이 논문에서는 유압 액추에이터의 실시간 고대역폭 위치제어를 위해 RLS 방법을 사용하여 실시간으로 폐루프 시스템의 모델을 추정함과 동시에 ZPETC 방법으로 근사 적 모델 역변환을 구하여 피드포워드 제어기를 업데이트 하는 적응제어에 관하여 다루며 논문의 구성은 다음과 같다. 2장에서는 전기-유압 액추에이터의 수학적 모델을 제시하고, 3장에서 실험적 모델의 system identification 에 관해 다룬다. 4장에서는 ZPETC를 통한 근사적 모델 역변환의 문제점과 이를 해결하기 위한 적응제어기에 관하여 이야기한다. 제안된 적응 제어기의 성능을 5장에 서 실험을 통해 검증한다. 마지막으로 6장의 결론을 통 해 논문을 마무리 짓는다.

2. 전기-유압 액추에이터 모델링

일반적인 전기-유압 액추에이터는 Fig. 1과 같이 피스 톤과 서보밸브(servo-valve)로 구성되어 있다. 서보밸브 와 전기-유압 액추에이터의 유량은 다음과 같이 표현된다.

Fig. 1

Electro-hydraulic actuator

Q 1 = c d w x υ 2 ρ (P s − P 1)

(1)

Q 2 = c d w x υ 2 ρ (P 2 − P 0)

(2)

c_d는 유량계수, x_υ는 서보밸브 스풀(spool)의 변위, w 는 오리피스(orifice)의 면적 gradient, ρ는 오일밀도를 의 미하며 P_s는 작동유의 공급 압력, P₀는 귀환압력, P₁, P₂는 챔버(chamber)1과 2의 압력을 나타낸다.

내부 배관과 실린더의 변형을 무시하고 피스톤이 중 립위치에 있다고 가정하여 각각의 챔버에 대한 연속방 정식(continuity equation)을 유도하면 다음과 같다.

Q 1 − C i p (P 1 − P 2) − C e p P 1 = d υ 1 d t + υ 1 β e d P 1 d t

(3)

C i p (P 1 − P 2) − C e p P 2 − Q 2 = d V 2 d t + V 2 β 2 d P 2 d t

(4)

V₁와 V₂는 챔버1과 챔버2의 부피이고 C_ip는 실런더 내부 누수계수, C_ep는 실린더 외부 누수계수, β_e유효 벌 크모듈러스(effective bulk modulus)이다. 최종적인 전기 -유압 액추에이터의 운동방정식은 다음과 같다.

A p (P 1 − P 2) = M t d 2 x d t 2 + B p d x d t + K x + F L

(5)

A_p는 피스톤의 유효면적, M_t는 피스톤과 피스톤에 걸 리는 부하의 총 질량, B_p는 점성 감쇠계수, K는 스프링 상수, F_L은 외부 부하이다.

3. System Identification

이 장에서는 실험적으로 모델을 구하기 위한 RLS 방 법과 실험을 위한 장비 구성 및 실험 방법에 대해 기술하 고 도출된 모델과 실제 시스템의 응답을 비교한다.

3.1. Recursive Least Squares 방법

RLS 방법은 실험적으로 모델을 도출하는 방법들 중 하나로 cost function을 최소화하는 선형 이산 전달함수 의 계수들을 회귀적으로 찾아가는 알고리즘이다. 일반 적으로 RLS 방법은 LMS 방법보다 더 빠른 수렴속도를 가진다. 시스템을 추정하기 위한 이산 선형 전달함수는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

H (z) = b 0 + b 1 z − 1 + b 2 z − 2 + ⋯ + b m z − m 1 + a 1 z − 1 + a 2 z − 2 + ⋯ + a m z − n

(6)

식 (6)의 계수들은 측정 데이터와 추정 결과값의 차이 로부터 계산된다.

y (k) − h T Θ^= e (k)

(7)

식 (7)의 변수들은 다음과 같다.

h T = [− y (k − 1) ... − y (k − n) u (k) ... u (k − m + 1)] Θ^T = [a 1 ... a n b 0 ... m]

오차 제곱의 합을 최소화하는 계수를 찾기 위해 ‘Matrix Inversion Lemma’와 망각인자(forgetting factor) λ를 적용하면 최종적으로 RLS 알고리즘을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

Θ^k + 1 = Θ^k + P k h k + 1 (y k + 1 − h k + 1 T Θ^k) λ + h k + 1 T P k h k + 1

(8)

P k + 1 = 1 λ (P k − P k h k + 1 h k + 1 T P k λ + h k + 1 T P k h k + 1)

(9)

여기서 P는 공분산계수 이다. 식 (8)과 (9)를 반복하며 회귀적으로 이산 선형 전달함수의 계수들을 찾아나간다.

3.2. 실험 장비 구성

실험에 사용한 유압 시스템은 Fig. 2와 같이 KNR사의 유압 액추에이터와 유압펌프, Moog사의 서보밸브, 피스 톤의 변위를 측정하기 위한 LVDT로 구성된다. 액추에 이터의 동작 범위는 80 mm이고 NI-CompactRio를 사용 하여 LVDT의 아날로그 신호를 받고 제어알고리즘을 계 산하여 실시간으로 유압 액추에이터를 제어하였다. 샘 플링 타임은 1 ms이다. 유압 펌프 200 bar의 작동유를 공급한다.

Fig. 2

Experimental set

3.3. 실험을 통한 모델 도출

피드포워드 제어기 설계를 위해 Fig. 3의 블록 다이아 그램에서 폐루프 부분의 모델을 실험을 통해 구한다.

Fig. 3

Block diagram of feedforward controller

피드백 제어기로 PI 제어기를 선정하고 ‘Ziegler-Nichols method’를 사용하여 튜닝 하였다. 튜닝된 폐루프 시스템 에 0.1 Hz에서 50 Hz의 주파수 성분을 가진 랜덤 신호를 기준 위치로 인가하여 시스템의 입출력 데이터 얻었다. 얻어진 데이터와 RLS 방법을 사용하여 폐루프 시스템의 3차 이산 선형 전달함수를 다음과 같이 구하였다.

H^d (z) = − 0.05595 + 0.233 z − 1 − 0.3649 z − 2 + 0.2221 z − 3 1 − 1.614 z − 1 + 0.5384 z − 2 − 0.1095 z − 3

(10)

Fig. 4는 추정된 전달함수와 실제 시스템에 같은 입력 을 주었을 때 1초 동안의 시간응답을 비교한 것이고 Fig. 5는 주파수 응답을 비교한 것이다. 이를 통해 추정된 3차 전달함수가 주어진 폐루프 시스템을 잘 모사하고 있음 을 알 수 있다.

Fig. 4

Time response of EHA and estimated transfer function

Fig. 5

Frequency response of EHA and estimated transfer function

4. 근사적 모델 역변환을 통한 피드포워드 제어

3장에서 폐루프 시스템을 RLS를 통하여 3차 전달함 수로 추정하였다. 하지만 추정된 3차 전달함수의 영점이 빠른 샘플링 속도나 데이터 전달 지연 등으로 인하여 Fig. 6과 같이 z-domain에서 단위원 바깥에 존재하기 때 문에 단순 모델 역변환을 구하면 NMP 영점이 불안정한 극점으로 바뀌면서 시스템 역시 불안정해 진다.

Fig. 6

Poles and zeros of estimated model

이러한 NMP의 근사적 모델 역변환을 구하기 위한 몇 가지 방법이 있는데, 이 장에서는 계산이 간단하고 효과 적인 위상 지연 보상으로 인해 많이 쓰이는 ZPETC 방법을 사용하여 NMP 전달함수의 근사적 모델 역변환을 구하 고 이를 피드포워드 제어기로 활용하는 방법을 다룬다.

4.1. Zero Phase Error Tracking Control (ZPETC)

이산 전달함수는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

H (z) = B (z) A (z) − B s (z) B u (z) A (z)

(11)

식 (11)에서 분자항을 NMP 부분(Bu(z))과 minimum phase (MP) 부분(Bs(z))으로 나누면 아래와 같다.

A(z)=zn+a1zn−1+⋯+anBs(z)=bs0zm+bs1zm−1+⋯+bsmBu(z)bu0zr+bu1zr−1+⋯+bur

ZPETC를 적용하면 NMP 전달함수의 근사적 역변환 모델을 다음과 같이 나타낼 수 있다. 여기서 Buf(z)는 Bu(z))과 minimum phase (MP) 부분(Bu(z)의 계수들을 flipping하여 얻는다^[18].

H^− 1 (z) = A (z) B u f (z) B s (z) B u (1) 2

(15)

4.2. 피드포워드 제어기 설계

Fig. 3에서 볼 수 있듯이 피드백 제어기가 포함된 폐루 프 시스템(H_d) 앞에 폐루프 시스템의 모델 역변환을 추 가하여 폐루프 시스템의 응답을 보상하는 피드포워드 제어기를 설계한다. NMP 영점의 존재로 인해 ZPETC를 통한 근사적 모델 역변환으로 설계한 피드포워드 제어 의 결과는 다음과 같이 imaginary term이 없으며 이상적 으로 출력의 위상 지연이 없음을 알 수 있다.

x d (z) x (z) = H cl (z) H^c l : z p e t c − 1 (z) = B s (z) B u (z) A (z) A (z) B u f (z) B s (z) B u (1) 2 = B u (z) B u f (z) B u (1) 2

(16)

3장에서 추정된 3차 전달함수의 근사적 모델 역변환 을 ZPETC를 사용하여 구하면 다음과 같으며 이는 피드 포워드 제어기로 사용되어 폐루프 시스템의 부족한 응 답 크기와 위상 지연을 보상한다.

H^− 1 (z) = 70.9438 z − 6 − 231.0486 + z − 5 300.7336 z − 4 − 192.9847 z − 3 + 56.1549 z − 2 − 1.4700 z − 1 − 1.9572 0.3761

(17)

4.3. ZPETC 피드포워드 제어기 평가

ZPETC 방법을 이용하여 얻어진 근사적 모델 역변환 을 활용한 피드포워드 제어기를 적용하기 전, 후의 시간 및 주파수 응답 성능을 시뮬레이션을 통해 확인하였다. 시뮬레이션은 MATLAB/Simulink를 이용하였다. 샘플 링 타임은 실험과 동일한 1 ms이며 0.1 Hz에서 50 Hz의 랜덤 신호를 기준 입력으로 하였을 때 시간응답과 주파 수 응답은 다음과 같다. 각각 Fig. 7과 Fig. 8에 나타나있 다. Fig. 7의 시간 응답결과를 보면 피드포워드 제어기를 추가했을 때가 그렇지 않을 때 보다 기준입력을 더 잘 추종하고 있는 것으로 보인다. 또한 Fig. 8의 주파수 응 답을 살펴보면 추정모델의 경우, 약 20 Hz에서 -90°의 위상지연이 나타나는 반면 피드포워드 제어기를 추가 했을 때 위상 지연이 보상되어 20 Hz에서 -30°의 위상지 연을 보인다. 하지만 응답 크기의 경우, 피드포워드 제어 기를 적용 했을 때 주파수가 커짐에 따라 점점 증가하는 것으로 나타난다. 이는 NMP 영점이 z-plane의 우방면에 존재 할 경우 ZPETC로는 이 영점의 영향을 없애지 못하 기 때문이다^[20].

Fig. 7

Time response of estimated model (upper) and feedforward controller applied model (lower)

Fig. 8

Frequency response of estimated model (upper) and feedforward controller applied model (lower)

5. 적응 제어기

4장에서 나타난 바와 같이, NMP 영점이 z-plane의 우 방면에 존재하는 전달함수의 근사적 모델 역변환을 구 하기 위하여 ZPETC 방법을 사용하면 고주파 영역에서 시스템의 응답 크기를 증폭시키는 문제가 발생한다. 이 논문에서는 이러한 문제를 해결하기 위해 실시간으로 시스템을 추정하고 피드포워드 제어기를 업데이트하는 적응 제어기를 제안한다. 제어기의 블록다이아그램은 Fig. 9와 같다.

Fig. 9

Block diagram of adaptive controller

적응 제어기는 폐루프 시스템(H_cl)으로 들어가는 입력 과 출력 데이터에 실시간으로 RLS 방법을 적용하여 모 델을 추정함과 동시에 ZPETC 방법으로 근사적 모델 역 변환을 구하여 피드포워드 제어기를 업데이트 한다. 입 력 신호의 특성에 따라 추정되는 시스템이 달라지며 유 압 시스템은 작동유의 온도 변화로 인하여 시스템 거동 이 변하기 때문에 적응 제어를 통한 피드포워드 제어기 의 실시간 업데이트는 ZPETC 방법으로 인한 고주파에 서의 응답 크기의 증폭 해결뿐만 아니라 유압시스템과 같은 시변 시스템과 외란에 대한 위치 제어성능을 향상 시킨다.

6. 실험 결과

이번 장에서는 제안된 적응 제어의 위치제어 성능을 실험을 통하여 검증 한다. 실험에 사용된 장비 구성은 3장에서 system identification을 위해 사용한 구성과 같 으며 피드백 제어기의 파라미터 또한 그대로 사용하였 다. 적응 제어기의 초기 근사적 모델 역변환 제어기는 4장에서 설계된 제어기를 사용하였다. 실험은 PI 제어기, 피드포워드 제어기, 적응 제어기에 대해 0.1 Hz에서 50 Hz의 랜덤 신호를 reference로 하고 1 ms의 샘플링 타임 으로 진행되었다. Fig. 10은 PI제어와 근사적 모델 역변 환을 적용한 피드포워드 제어기 및 제안된 적응 제어기 의 시간응답을 나타내고, Fig. 11은 위의 세가지 제어기 에 따른 주파수 응답 특성을 비교한 것이다.

Fig. 10

Time response of PI control (top), feedforward control (middle) and adaptive control (bottom)

Fig. 11

Frequency response of adaptive control (blue line) and feedforward control (red line)

Fig. 10에서, 피드포워드 제어기를 적용할 경우, PI 제 어기만을 사용했을 때 보다 시간 지연이 줄지만 응답 신호의 크기가 reference보다 크게 나타난다. 적응 제어 기를 적용하면 시간지연 뿐만 아니라 reference 신호의 크기 또한 더 잘 추종하는 것을 볼 수 있다. Fig. 11에 나타난 제어기 별 주파수 응답 특성을 살펴보면, PI 제어 만을 사용할 때 주파수 응답의 크기는 약 15 Hz에서 -3 dB 이며 약 20 Hz에서 -90°의 위상지연을 보인다. 피드 포워드 제어기만을 사용 했을 경우, 위상지연은 50 Hz에 서 약 -60°로 크게 개선 되지만 시뮬레이션 결과와 Fig. 10에서 확인 할 수 있듯이 주파수가 증가함에 따라 응답 의 크기도 점차적으로 증가하는 문제가 발생한다. 이는 유압 시스템의 위치 제어 시 시스템을 불안정하게 하거 나 과도한 입력으로 인해 시스템에 무리가 될 수 있다. 이를 해결하기 위해 제안된 적응 제어기를 사용하여 실 시간으로 피드포워드 제어기를 업데이트 해준 결과, 위 상지연이 50 Hz에서 약 -60°로 피드포워드 제어기와 비 슷하며 주파수가 증가하여도 응답의 크기가 일정하게 유지된다.

실험을 통해 제안된 적응 제어기가 PI 제어기의 성능 한계를 보상하며 피드포워드 제어기의 응답 증폭 문제 를 해결하여 전기-유압 액추에이터의 위치 추종 성능을 향상 시킨다는 것을 확인하였다.

7. 결 론

이 논문에서는 전기-유압 액추에이터의 고대역폭 위 치 제어를 위해 피드백 제어의 성능을 보상하고, 근사적 모델 역변환을 활용한 피드포워드 제어기의 문제를 해 결하는 적응 제어기를 제안하였다. 영점이 z-domain의 단위원 바깥에 있는 NMP 시스템을 ZPETC 방법으로 근사적 모델 역변환을 구하여 피드포워드 제어기로 사 용하면 고주파 영역에서 응답이 증폭되는 문제가 발생 한다. 제안된 적응 제어기는 실시간으로 시스템의 입출 력 데이터와 RLS 방법을 이용하여 시스템의 추정 이산 전달함수 모델을 구하고 ZPETC 방법으로 근사적 모델 역변환을 구하여 피드포워드 제어기를 업데이트함으로 써 ZPETC를 활용한 피드포워드 제어기만을 사용하였 을 때의 문제를 극복한다. 또한 실험을 통하여 제안된 적응 제어기가 피드백 제어기의 성능 한계를 보상하고 ZPETC 방법으로 구한 피드포워드 제어기의 문제를 해 결하여 전기-유압 액추에이터의 위치 제어 대역폭을 확 장하는 것을 확인하였다.

Acknowledgments

This work described in this paper was fully supported by Construction & Transportation Technology Advancement Research Program from Korea Agency for Infrastructure technology Advancement (15CTAP-C098408-01)

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