편마비 환자를 위한 착용형 보행 로봇 제어 알고리즘 개발

1. 서 론

뇌졸증은 장기적인 운동기능 손상을 야기하며, 운동기능을 회복하기 위해 시청각 및 신체적 자극이 필요하다. 뇌 손상 이후 보행기능 재활을 위해 로봇을 이용한 재활 치료가 연구되어왔다^[1]. 트레드밀과 외골격 보행로봇으로 구성된 시스템이 개발되었다^[2-5]. ALEX (Active Leg Exoskeleton)가 제안되었고, 이후 ALEX를 이용한 지면에서의 보행 훈련시 효과를 입증한 연구가 수행되었다^[2,3]. Hocoma사의 Locomat은 트레드밀과 외골격 로봇으로 구성되어 있으며 기 정의된 궤적을 추종하도록 하였다^[4]. 뇌졸증 환자 보행시 마비 다리로 지지시(support phase) 밸런스 유지가 어렵다. 이러한 불안정성을 극복하기 위해 마비 다리에 부착하는 능동 무릎 보조기가 개발되었다^[6]. 자전거 페달 형태의 마스터-슬레이브 재활로봇이 개발되었다^[7]. NT로봇에선 RoboWear를 개발하였다^[8].

기존 연구를 통해 재활훈련 성과를 향상시키기 위해서는 환자의 능동적훈련 참여가 효과적임이 밝혀졌다^[9,10]. 기 정의된 패턴으로 움직이는 로봇의 경우 환자가 수동적으로 로봇의 움직임을 추종하는 경우가 발생하여 훈련 성과가 높지 않고 지속성이 떨어진다. 이를 극복하기 위해 환자의 능동적인 훈련 참여를 독려하는 제어 방식이 연구되고 있다^{[2, 3, 5, 6, 11,12]}.

환자의 능동적인 훈련 참여를 독려하기 위해 Assist-as-needed 제어 연구가 수행되었다^{[2,3,5,11,12]}. Assist-as-needed 제어는 환자 보행시 재활치료사가 수행하는 기능을 구현한 것으로, 보행 궤적이 기준 궤적에 심하게 벗어난 경우에 로봇이 힘을 제시를 통해 기준 궤적에 도달하도록 유도한다. 따라서, 환자의 자유의지를 파악하고 움직임을 추종하는 제어가 필요하다. 환자 의지추종 제어로는 임피던스(또는 어드미턴스) 제어가 사용되었다^[13-15]. Assist-as-needed 제어는 크게 임피던스를 제어하는 방식과 가상벽을 제시하는 방식으로 적용되었다.

보행시 환자가 제공하는 외력에 따라 임피던스를 능동적으로 수정하는 assist-as-needed 제어 연구가 수행되었다^[5,11]. Riener는 Lokomat에 임피던스 제어와 어드미턴스 제어를 수행하여 환자의 의지를 추종 비교하였고 보행구간에 따른 임피던스 변화와 추종궤적 수정을 수행하였다^[11]. Chen은 인터렉션 토크가 큰 경우 임피던스롤 높여 로봇이 보조를 더해주고, 작은 경우 환자가 자유롭게 움직일 수 있도록 임피던스를 낮추도록 하였다^[5].

가상벽을 활용한 assist-as-needed 제어가 연구되었다^[2,12]. 훈련 궤적에 가상의 터널을 구현하고 터널 내부에서의 이동은 환자의 의지대로 움직이며, 터널 벽에 닿는 경우에만 로봇이 가상벽을 제시하여 가이드해 주는 제어를 수행한다. Banala는 Assist-as-needed 제어를 수행하기 위해 추종 궤적에 가상벽 터널을 제시하였다^[2]. 가상벽은 접선방향과 법선방향으로 구성되었으며 사용자 의지 파악을 위해 허벅지와 정강이에 force-torque 센서를 각각 부착하였다. Duschau-Wicke는 기준 궤적에 가상벽을 구현하였으며 환자의 의지추종으로 위해 토크제어기반 임피던스 제어를 수행하였다^[12]. 환자와의 인터렉션 힘을 얻기 위해 중력 및 마찰력 보상 제어를 수행하였다.

임피던스 제어 및 디지털 가상벽 제시는 시스템의 불안정성을 야기한다. 특히, 디지털 가상벽은 대표적인 에너지 생성 요소로 시스템을 불안정하게 만든다. 디지털 가상벽을 사용하는 햅틱 시스템의 경우 안정성을 확보하기 위한 연구들이 수행되었다. 시간 도메인에서 수치적인 방법으로 수동성(passivity)을 제어하는 방법이 제안되었다^[16]. 또한, Stramigioli는 제어주기 동안의 에너지 변화 제한으로 안정한 힘반영이 가능함을 보였다^[17]. 따라서, 햅틱 시스템과 유사한 가상벽을 활용하는 assist-as-needed 제어시 야기되는 불안정성에 대한 연구가 필요하다.

본 논문은 assist-as-needed 제어시 적용된 디지털 가상벽 및 어드미턴스 제어에 의해 발생하는 시스템의 불안정성을 극복하기 위한 수동성 기반 제어 알고리즘을 제안하였다. 환자의 다리는 정상인 건측과 마비된 환측으로 구분하였다. 이동구간에서 건측은 어드미턴스 제어만 수행하고 환측은 어드미턴스 제어와 assist-as-needed 제어를 동시에 수행하였다. 어드미턴스 제어와 Assist-as-needed 제어시 적용한 디지털 가상벽은 시스템의 불안정성을 야기한다. 불안정성을 극복하기 위해 수동성(passivity) 기반의 제어를 수행하였다. 수동성(Passivity) 관점에서 에너지가 항상 영보다 큰 경우 시스템은 수동적(passive)이며, 전체 시스템의 모든 요소가 수동적인 경우 시스템의 안정성이 확보된다^[18]. 본 연구에서는 한 주기 동안의 출력파워를 제한하는 방법을 적용하여 어드미턴스 제어기와 Assist-as-needed 제어시 적용한 디지털 가상벽이 수동적이 되도록 하여 시스템의 안정성을 확보하였다. 1자유도 모델 모의실험을 통해 개발된 알고리즘의 성능을 검증하였다.

2. 건측 제어

모의실험을 수행하기 위해 환자 모델 및 로봇 모델에 대한 각각의 제어가 필요하다. 따라서, 건측 및 환측제어 모두 환자와 로봇 제어로 세부 구분하였다. 실제 로봇 실험 시에는 환자모델은 구현하지 않는다. 각종 게인 및 파라미터는 추후 모의실험에서 자세히 기술한다.

[Fig. 1]은 환자 건측 제어 시스템 구성이다. 기 설정된궤적을 추종하기 위해 위치제어 모드로 동작한다. 그림에서 Ref_x 및 x, Fext는 각각 위치입력 및 출력위치, 접촉반력을 의미한다. 건측 이동시 로봇의 움직임이 원활하지 않으면(즉, 사용자 의도 추종이 부정확하면), 환자는 로봇의 저항을 느끼게 된다. 환자와 로봇의 접촉반력은 환자 입장에서 저항으로 시스템의 외란입력으로 표현하였다. 로봇 건측은 위치제어를 적용하였다.

[Fig. 1]

Control system for the normal leg of the patient. A PID controller is implemented. Fext denotes the contact force between the patient and robot

[Fig. 2]는 전체 건측 제어시스템 구성도이다. [Fig. 1]의 전체 블록 다이어그램을 Patient normal leg 블록으로 대체하여 [Fig. 2]에 적용하였다. 즉, [Fig. 1]은 [Fig. 2]의 서브 시스템이다. Robot normal leg 블록은 PID 위치제어 블록으로 구성되었다. Ref_traj와 Fext는 각각 표준 보행궤적과 환자와 로봇간의 접촉력이다. 또한, x_r 및 x_h, x_c는 각각 로봇의 위치 및 환자의 위치, 어드미턴스 제어 위치명령이다. Fext는 접촉모델 블럭에서 아래와 같이 계산한다.

[Fig. 2]

The whole control system for the normal leg. A contact model and position based admittance control are implemented

여기서, K와 D는 각각 접촉모델의 스프링 상수 와 댐핑계수이다. 또한, 식 (1)의 e는

로 계산한다.

지지 구간 및 이동 구간을 통합한 제어를 위해 [Fig. 2]에 스위치를 구성하였다. 구간에 따라 스위치는 로봇 다리의 제어 입력을 Ref_traj에서 x_c로, 또는 x_c에서 Ref_traj로 변경한다. 이동 구간인 경우 로봇 다리의 제어 입력은 x_c로 설정되며 로봇은 어드미턴스 제어로 움직인다. 또한, 지지 구간인 경우 로봇 다리의 제어 입력은 Ref_traj로 설정되며 위치제어 모드로 정해진 보행궤적을 추종한다.

로봇 다리 위치(x_r)기준으로 어드미턴스 제어를 수행한다. 어드미턴스 제어는 Fext를 입력으로 x_e를 아래 식으로 계산한다.

여기서 D_a 및 K_a는 각각 어드민턴스 제어기의 댐핑계수 및 스프링 상수이다. 또한, 어드미턴스 제어기는 추후 로봇의 주 제어기인 PC에서 구현됨으로 본 모의실험에서는 차분식(discrete model)으로 구현하였다. 식 (3)으로 계산된 x_e와 x_r을 더해 어드미턴스 제어기의 최종 출력인 x_a를 계산한다. x_a 계산에 대한 블록 다이어그램을 [Fig. 3]에 표시하였다.

[Fig. 3]

Block diagram for the admittance controller. A power controller is implemented to avoid the unstable behavior

시스템의 안정성을 위해 파워제어기를 구성하였다. 로봇 시스템과 환자는 수동적이라 가정하였고 디지털 도메인에 구성된 어드미턴스 제어기(환측인 경우 어드미턴스 제어기 및 가상벽)에서 에너지가 생성되어 시스템이 불안정해지는 상황을 고려 하였다. 수동성(Passivity) 관점에서 에너지가 항상 영보다 큰 경우 시스템은 수동적(passive)이며, 전체 시스템의 모든 요소가 수동적인 경우 시스템의 안정성이 확보된다^[18]. 따라서, 전체 시스템의 안정성을 확보하기 위해 어드미턴스 제어기(환측인 경우 어드미턴스 제어기 및 가상벽)는 수동성을 가져야 한다. 본 연구에서는 어드미턴스 제어기(환측인 경우 어드미턴스 제어기 및 가상벽)의 한 주기동안의 출력파워를 제한하여 에너지가 항상 영보다 크도록 제어하여 수동성을 확보한다.

파워는 Power = v_r · Fext로 계산하였고, 여기서 v_r은 로봇의 이동속도이다. 아래는 계산 과정에 대한 파워 제어기의 의사코드이다.

dv = 0

If Power > Positive_power_limit

   dv = (Power - Positive_power_limit)/Fext

else if Power < Negative_power_limit

   if |Fext| ~= 0

      dv = (Power - Negative_power_limit)/Fext

   end

end

dx = dv*SampleTime

파워가 제한 값보다 크거나 작은 경우 파워에서 제한 값을 빼고 외력(Fext)으로 나누어 미소 속도(dv)를 계산한다. 파워가 제한 값 이내인 경우 dv는 0으로 설정한다. 속도에 SampleTime을 곱하여 dx를 계산한다. [Fig. 3]에서 보인 바와 같이 x_a에서 계산된 dx를 빼서 안정화된 x_c를 계산한다.

3. 환측 제어

[Fig. 4]는 환측 제어시스템 구조를 나타낸다. 환측은 건측의 제어구조에 Assist-as-needed 제어를 추가하였다. 따라서 환자 및 로봇, 접촉모델, 어디미턴스 제어기 블록의 구조는 건측 제어 구조와 동일하다. Assist-as-needed 제어기는 기준 궤적(Ref_traj)과 로봇의 위치(x_r) 차이(error)를 입력 받아 가상벽의 제시 힘 F_ve를 계산한다. [Fig. 4]의 점선부분은 디지털 도메인을 의미하며 ZOH는 zero-order-holder이다.

[Fig. 4]

Block diagram for the stroke leg. The assist-as-needed control is applied in that a virtual wall is implemented

Assist-as-needed 제어기는 가상벽 모델과 파워제어기로 구성하였다. Assist-as-needed 제어는 환자가 기준 궤적에서 일정 범위 내에 있는 경우 동작하지 않고 범위를 벗어난 경우 힘을 제시하여 기준궤적을 벗어나지 않도록 도와준다. 본 연구에서는 데드존을 갖는 가상벽을 기준궤적에 구현하였다. 아래는 데드존을 갖는 가상벽의 의사코드이다.

If |error| > DeadZone

   c_error = sign(error)*(|error| - DeadZone)

   Compute F_ve with a virtual wall model

end

여기서 error는 error = Ref_traj – x_r로 계산하고 F_ve는 가상벽이 제시하는 반력이다. 가상벽은 식 (4)로 구현하였다.

여기서 K_ve는 가상벽의 스프링 상수 및 D_ve는 댐핑계수이다.

디지털 가상벽은 대표적인 에너지 생성 시스템으로 불안정성을 야기한다. 이를 극복하기 위해 건측 제어에서 소개한 파워 제어기를 추가하였다. 환측 가상벽 파워는 Power_VE = v_error*F_ve로 계산하였다. 여기서 v_error은 error의 변화속도이다. Power_VE와 v_error을 입력으로 하여 안정화를 위한 df를 계산하였다. 아래는 가상벽에 적용한 파워 제어 의사코드이다.

df = 0

If Power_VE > Positive_power_limit_VE

   df = (Power - Positive_power_limit_VE)/v_error

else if Power < Negative_power_limit_VE

   if |v_error| ~= 0

      df = (Power - Negative_power_limit_VE)/v_error

   end

end

파워가 제한 값보다 크거나 작은 경우 파워에서 제한 값을 빼고 v_error로 나누어 미소 힘(df)을 계산한다. 파워가 제한 값 이내인 경우 df는 0으로 설정한다. [Fig. 5]와 같이 F_ve에서 계산된 df를 빼서 안정화된 F_ve를 계산한다. 가상벽 제시와 파워제어는 [Fig. 4]의 Assist-as-needed 접촉모델에서 계산된 반력 Fext와 F_ve를 더해 어드미턴스 제어기에 전달한다. 환측에선 이동 구간만 고려 하여 지지구간에 대한 모델을 구성하지 않았다.

[Fig. 5]

Block diagram of the assist-as-needed control in [Fig. 4]. VE and power controller are implemented

4. 모의실험 환경

모의실험은 Matlab simulink를 이용하여 수행하였다. 아날로그 도메인은 Simulink의 continuous system 블록으로 구현하였고 디지털 도메인은 가능한 Matlab 코드로 구현하였다. Assist-as-needed 제어의 가상벽 모델 및 파워 제어기, 어드미턴스 제어기는 Matlab 코드로 환자 모델 및 로봇 모델, 접촉모델, 위치제어용 PID 제어기 등은 Simulink의 continuous system 블록으로 구현하였다. 환자 모델과 로봇 모델은 질량 및 댐퍼, 스프링 모델로 구성하였다. 알고리즘 테스트를 위해 환자 및 로봇 모델은 1자유도로 설정하였다. 위치제어에 사용된 PID제어기는 Matlab의 자동튜닝 기능을 이용하여 튜닝하였다. 또한, 환자와 로봇 사이의 접촉 모델은 simulink의 PD 제어기를 적용하였다. 각 파워 제어기의 Positive_power_limit과 Negative_power_limit은 반복 실험을 통해 결정 하였다.

건측의 경우 환자도 궤적추종 의지가 있다고 가정하였다. 즉, 기준 궤적을 원활히 추종할 수 있도록 환자 시스템의 위치제어 PID 게인을 크게 설정하였다. 지지 구간의 견고한 위치제어와 어드미턴스 제어 추종성능 향상을 위해 로봇 시스템의 위치제어 PID 게인을 크게 설정하였다.

환측의 경우 환자는 마비로 인해 기준 궤적을 원활히 추종할 수 없다. 이를 모사하기 위해 환자 환측 시스템의 PID 제어 게인을 낮게 설정하여 추종성능을 떨어뜨렸다. 로봇 환측은 지지 구간의 견고한 위치제어와 어드미턴스 제어 추종성능 향상을 위해 PID 게인을 크게 설정하였다. RoboWear 10은 CAN 통신을 사용하여 제어주기는 25 ms으로 설정하였다. 또한, Ref_traj는 주기 2 s, 진폭 1 m인 사인커브(sin(πt))를 적용 하였다. 모의실험에서 사용한 각종 파라미터 값을 [Table 1]에 기술하였다.

[Table 1]

Parameters of the simulation model

5. 모의실험 결과

건측 및 환측 모두 이동구간(swing phase) 시 모의실험 결과를 제시하였다. 지지구간(support phase)에선 로봇은 기 정의된 궤적을 위치제어로 움직이며 환자는 로봇 움직임에 따라 적응하도록 구현하였다. 따라서, 로봇 제어 관점에선 지지구간은 단순 위치제어이므로 지지구간 모의실험 결과를 본 논문에 제시하지 않았다.

5.1 건측제어 모의실험

[Fig. 6]은 파워 제어가 없는 어드미턴스 제어 모의실험 결과이다. Pos.와 Vel.은 위치와(position)과 속도(velocity)를 의미한다. 환자는 기준궤적(sin(πt))을 위치제어로 추종하고 로봇은 접촉반력 Fext에 의한 어드미턴스 제어로 환자를 추종한다. 에너지는 파워(Power = v_r · Fext)를 적분하여 계산하였다. 모의실험 결과 로봇이 환자의 의도에 따라 추종하고 있으나 측정된 에너지는 음의 값을 가져 수동적이지 않다. 따라서 시간이 지남에 따라 Fext의 진폭이 커지며 점점 불안정해 지는 것으로 볼 수 있다.

[Fig. 6]

Simulation results for the normal leg with no power control

[Fig. 7]은 파워 제어를 수행한 모의실험 결과이다. 안정적으로 추종이 가능하였으며 [Fig. 7]의 Fext는 [Fig. 6]의 Fext에 비해 완만한 형태의 변화를 보인다. 파워제어가 동작하는 경우(설정된 파워 제한을 벗어나는 경우) 파워제어의 결과 값인 dx는 영이 아닌 값을 갖는다. dx가 적절히 반영되어 안정된 환자 의지추종이 가능하였다. 또한, 측정된 에너지는 항상 양의 값을 가짐으로 시스템은 수동적이며 안정한 제어가 가능함을 확인하였다.

[Fig. 7]

Simulation results for the normal leg with power control

5.2 환측 제어 모의실험

[Fig. 8]은 Assist-as-needed 제어가 동작하지 않은 경우 환자의 동작 궤적과 어드미턴스 제어를 통한 로봇의 추종 결과이다. 굵은 실선은 기준궤적(Ref_traj)이며 환측 다리가 기준 궤적을 정확히 추종하지 못함을 보인다. 로봇은 어드미턴스 제어를 통해 환자 궤적을 적절히 추종함을 보인다.

[Fig. 8]

Simulation results for the stroke leg with no assistas-needed control

파워제어 없이 Assist-as-needed 제어를 적용한 모의실험 결과를 [Fig. 9]에 보였다. 환자와 로봇 궤적이 assist-as-needed 제어를 통해 기준궤적에 접근하나 시간이 지남에 따라 진폭이 커지는 불안정한 진동이 관찰된다. 0.5 s이후에는 환자와 로봇의 위상이 반전되는 것을 위치 그래프에서 관찰할 수 있다. 또한, 접촉반력 Fext는 시간이 지남에 따라 진폭이 커지는 것이 관찰된다. 불안정한 진동이 명확이 관찰되어 에너지 측정 결과를 추가하지 않았다.

[Fig. 9]

Simulation results for the stroke leg with assistas-needed control and with no power control

[Fig. 10]은 파워제어와 Assist-as-needed 제어를 동시에 적용한 모의실험 결과이다. 어드미턴스 제어와 Assist-as-needed 제어시 각각 적용된 파워제어기의 출력 dx와 df를 나타내었다. 대부분 시간 동안 dx와 df는 영이 아닌 값을 가져 대부분의 경우는 파워제어가 수행되었음을 확인할 수 있다. 에너지는 항상 영보다 큰 값을 가져 수동적임을 확인하였고 안정적인 제어 성능을 보였다. 하지만, 파워제한으로 기준궤적 추종 성능은 다소 떨어짐을 볼 수 있다.

[Fig. 10]

Simulation results for the stroke leg with assistas-needed control and power control

6. 결 론

본 논문은 가상벽을 활용한 assist-as-needed 제어 알고리즘의 안정성을 관찰하였다. 모의실험을 통해 디지털 도메인에서 구현된 어드미턴스 제어기와 가상벽은 시스템을 불안정하게 만들 수 있음을 확인하였다. 제어 안정성을 확보하기 위해 수동성 관점의 파워 제어기를 구성하고 모의실험을 통해 검증하였다.

Acknowledgments

This research was supported by the Bio & Medical Technology Development Program of the National Research Foundation (NRF) funded by the Korean government (MSIT) (No. NRF-2017M3A9G5083566)

References

• B. Hobbs and P. Artemiadis, “A Review of Robot-Assisted Lower-Limb Stroke Therapy: Unexplored Paths and Future Directions in Gait Rehabilitation,” Frontiers in Neurorobotics, Apr., 2020. [https://doi.org/10.3389/fnbot.2020.00019]
• S. K. Banala, S. H. Kim, S. K. Agrawal, and J. P. Scholz, “Robot Assisted Gait Training With Active Leg Exoskeleton (ALEX),” IEEE Trans. on Neural Systems and Rehabilitation Engineering, vol. 17, no. 1, pp. 2-8, Feb., 2009. [https://doi.org/10.1109/TNSRE.2008.2008280]
• S. Srivastava, P.-C. Kao, S. H. Kim, P. Stegall, D. Zanotto, J. S. Higginson, S. K. Agrawal, and J. P. Scholz, “Assist-as-Needed Robot-Aided Gait Training Improves Walking Function in Individuals Following Stroke,” IEEE Trans. on Neural Systems and Rehabilitation Engineering, vol. 23, no. 6, pp. 956-963, Nov., 2015. [https://doi.org/10.1109/TNSRE.2014.2360822]
• Hocoma, https://www.hocoma.com, , Accessed: Oct. 11, 2020.
• C. Chen, S. Zhang, X. Zhu, J. Shen, and Z. Xu, “Disturbance Observer‑Based Patient‑Cooperative Control of a Lower Extremity Rehabilitation Exoskeleton,” Int. J. of Precision Engineering and Manufacturing, vol. 21, pp. 957-968, Jan., 2020. [https://doi.org/10.1007/s12541-019-00312-9]
• A. C. Villa-Parra, J. Lima, D. Delisle-Rodriguez, L. Vargas-Valencia, A. Frizera-Neto, and T. Bastos, “Assessment of an Assistive Control Approach Applied in an Active Knee Orthosis Plus Walker for Post-Stroke Gait Rehabilitation,” Sensors, vol. 20, Apr., 2020. [https://doi.org/10.3390/s20092452]
• G. Huang, W. Zhang, F. Meng, Z. Yu, X. Chen, M. Ceccarelli, and Q. Huang, “Master–slave control of an intention-actuated exoskeletal robot for locomotion and lower extremity rehabilitation,” Int. J. of Precision Engineering and Manufacturing, vol. 19, no. 7, pp. 983-991, Aug., 2018. [https://doi.org/10.1007/s12541-018-0116-x]
• K.-H. Kim, “Mechanism and Control of the Wearable Walking Robot,” 2019 Conference on Information and Control Symposium, Kyung-ju, Korea, pp. 143-144, Oct. 2019.
• A. Kaelin-Lang, L. Sawaki, and L. G. Cohen, “Role of voluntary drive in encoding an elementary motor memory,” J. Neurophysiology, vol. 93, no. 2, pp. 1099-1103, Mar., 2005. [https://doi.org/10.1152/jn.00143.2004]
• M. Lotze, C. Braun, N. Birbaumer, S. Anders, and L. G. Cohen, “Motor learning elicited by voluntary drive,” Brain, vol. 126, no. 4, pp. 866-872, Apr., 2003. [https://doi.org/10.1093/brain/awg079]
• R. Riener, L. Lünenburger, S. Jezernik, M. Anderschitz, G. Colombo, and V. Dietz, “Patient-Cooperative Strategies for Robot-Aided Treadmill Training: First Experimental Results,” IEEE Trans. On Neural Systems and Rehabilitation Engineering, vol. 13, no. 3, pp. 380-494, Sept., 2005. [https://doi.org/10.1109/TNSRE.2005.848628]
• A. Duschau-Wicke, J. von Zitzewitz, A. Caprez, L. Lünenburger, and R. Riener, “Path Control: A Method for Patient-Cooperative Robot-Aided Gait Rehabilitation,” IEEE Trans. On Neural Systems and Rehabilitation Engineering, vol. 18, no. 1, pp. 38-48, Feb., 2010. [https://doi.org/10.1109/TNSRE.2009.2033061]
• A. Q. Keemink, H. van der Kooij and A. HA Stienen, “Admittance control for physical human–robot interaction,” Int. J. Robotics Research, vol. 37, no. 11, pp. 1421-1444, Apr., 2018. [https://doi.org/10.1177/0278364918768950]
• C. Ott, R. Mukherjee, and Y. Nakamura, “Unified Impedance and Admittance Control,” 2010 IEEE International Conference on Robotics and Automation, Anchorage, AK, USA, pp. 554-561, 2010. [https://doi.org/10.1109/ROBOT.2010.5509861]
• A. Wahrburg and K. Listmann, “MPC-based Admittance Control for Robotic Manipulators,” 2016 IEEE 55th Conference on Decision and Control (CDC), Las Vegas, NV, USA, pp. 7548-7554, Dec., 2016. [https://doi.org/10.1109/CDC.2016.7799435]
• B. Hannaford and J.-H. Ryu, “Time-domain passivity control of haptic interfaces,” IEEE Trans. Robot. Automat., vol. 18, no. 1, pp. 1-10, Feb., 2002. [https://doi.org/10.1109/70.988969]
• S. Stramigioli, C. Secchi, A. J. van der Schaft, and C. Fantuzzi, “Sampled data systems passivity and discrete port-hamiltonian systems,” IEEE Trans. on Robotics, vol. 21, no. 4, pp. 574-587, Aug., 2005. [https://doi.org/10.1109/TRO.2004.842330]
• Colgate, J. E., “The Control of Dynamically Interacting Systems,” PhD dissertation, MIT, Cambridge, USA, 1988, [Online], http://hdl.handle.net/1721.1/14380, .