운동량 보존에 기반한 자유 부유 우주 매니퓰레이터를 위한 비선형 모델 예측 제어

1. 서 론

자유 부유 우주 매니퓰레이터(FFSM: Free-Floating Space Manipulator)는 우주에서 잔해물 제거, 아군 위성의 수리 및 재급유 등 다양한 작업을 수행하기 위해 최근 활발히 연구되고 있다^[1-4]. FFSM의 가장 큰 특징은 인공위성의 추력기를 사용하지 않고, 매니퓰레이터의 동력만으로 움직인다는 점이다. 이 과정에서 지상과 달리 베이스가 고정되지 않으므로, 매니퓰레이터가 움직일 때 인공위성도 그 영향을 받아 함께 움직이게 된다. 이러한 특성은 작업 수행 시 주요한 어려움으로 작용한다.

비선형 모델 예측 제어(NMPC: Nonlinear Model Predictive Control)^[5-7] 는 주어진 시스템 모델을 기반으로, 정해진 구간(receding horizon) 동안 비용함수(cost function)와 구속 조건(constraints)을 고려하여 최적의 제어입력과 상태를 예측하는 제어 방법이다. FFSM의 동역학을 시스템 모델로 삼아 NMPC를 수행하는 경우^[8] 또는 FFSM의 동역학을 선형화하여 시스템 모델로 사용하는 경우^[9,10], 관성 행렬과 코리올리 행렬, 혹은 이들의 편미분 값을 매번 계산해야 하므로 연산량이 증가하게 된다. 이로 인해 주어진 시간 내에 해를 찾지 못할 가능성이 발생할 수 있으며, 동역학을 선형화하는 경우에는 선형화 과정에서 발생하는 오차로 인해 제어 성능이 저하될 수 있다. 이러한 문제들은 특히 우주 환경에서 치명적인 단점으로 작용한다. 이에 대한 대안으로 기구학적 이중 적분(double integrator) 모델을 사용할 수 있지만, 동역학적 특성을 반영하지 않기 때문에 시스템 모델의 제어입력이 힘과 모멘트 벡터가 아니라 관절의 가속도 벡터로 변환되므로, 자유 부유 특성을 구현하기 어렵다는 또 다른 단점이 발생한다.

본 논문에서는 운동량 보존에 기반한 FFSM의 NMPC 방법에 대해 제안한다. FFSM의 인공위성이 외부 힘이나 모멘트가 없는 부유 기동 상황에서는 운동량이 보존되므로^[11], 시스템 모델로 기구학적 이중 적분 모델을 사용하되 운동량 보존에 대한 제약 조건을 추가하여 자유 부유 특성을 구현할 수 있다. 또한, 운동량 계산 시 전체 관성 행렬을 사용하는 대신 인공위성 자체의 관성 행렬과 인공위성과 매니퓰레이터 간 커플링된 부분의 관성 행렬만 계산하며, 동역학을 시스템 모델로 사용하는 방법과 다르게 코리올리 행렬을 계산하지 않기 때문에 연산량 측면에서 효율성을 제공한다.

본 논문의 주요 내용 및 구성은 다음과 같다. 2장에서 FFSM의 기구학/동역학 모델링을 진행한다. 3장에서는 FFSM의 최적 제어에 관하여 논하고, 4장에서는 시뮬레이션을 통해 제안된 제어 방법의 유효성을 입증한다. 마지막으로 5장에서 결론을 통해 논문을 마무리 짓는다.

2. FFSM 모델링

2.1 기구학 모델링

본 논문에서는 [Fig. 1]과 같이 3개의 선형(prismatic) 관절과 3개의 회전(revolute) 관절을 사용하여 인공위성의 6자유도 움직임을 모델링하였다. 여기에 매니퓰레이터의 7자유도를 더하여, FFSM의 기구학은 총 13자유도를 가지는 직렬 체인 로봇의 기구학과 동일한 방식으로 구할 수 있다. 이때, 인공위성의 움직임을 모델링하는 6개의 관절은 모두 수동 관절이라는 점을 유의해야 한다.

[Fig. 1]

The kinematic model of the FFSM consists of a 3P3R + 7R configuration, making it equivalent to a 13-DoFs serial-chain robot. Note that the satellite’s 6-DoFs are passive, resulting in an overall under-actuated system

3. FFSM 최적 제어

3.2 경로 생성

예측구간(T)이 짧아질수록 목표 지점 도달까지 소요 되는 시간이 길어지게 되며, 짧은 샘플링 시간에서 많은 샘플을 처리해야 하는 예측구간의 경우, 연산량의 증가로 인해 목표로 설정된 샘플링 시간보다 연산시간이 길어지는 경우가 생긴다. 이를 고려하여 제안된 최적 제어 문제는 0.5초의 이동 구간에 대한 상태 예측을 위해 100[ms]의 샘플링 시간(st)으로 5개의 샘플을 예측하였다. 그러나 제어 주기(dt)가 1[ms]이므로, 예측된 샘플 간의 값을 [Fig. 2]에 나타난 것처럼 보간(interpolation)하여 목표 경로를 생성하였다.

[Fig. 2]

The values up to the first sample are interpolated by the number of times the sampling time divided by the control period

4. 시뮬레이션 및 결과

이번 절에서는 제안된 제어 방법의 검증을 위해 시뮬레이션을 진행하고 그 결과를 분석한다. 모든 시뮬레이션은 Intel Core i7-13620H 프로세서(2400 Mhz, 10코어)를 탑재한 시스템에서 수행되었고, 운영 체제는 Windows 11 Pro를 사용하였다. 시뮬레이터는 PyBullet^[13] 사용하였으며, FFSM의 기구학 및 동역학은 사전에 작성된 URDF를 통해 Pinocchio interface^[14]를 사용하여 계산되었다. 최적 제어는 Tasho^[15] 툴체인을 통해 구현되었고, 비선형 최적화 solver로는 COIN-OR에서 개발한 Interior-Point (IP) 방법 기반의 IPOPT-MA57^[16,17]가 적용되었다. 비용함수와 제어기의 가중치와 이득 값은 [Table 1]에 제시된 값과 같다.

[Table 1]

Control Weights & Gains

4.1 Point-to-Point (PTP) 궤적 생성

FFSM의 작업 공간에서 목표 위치(position)는 [Fig. 3]과 같이 주어졌다. 이 경우 식 (8)의 Q_r = 0이며, 장애물이 없기 때문에 식 (7e)의 제약 조건은 적용되지 않는다. [Fig. 4]에서 볼 수 있듯이 목표 위치로 도달하는 궤적이 생성되고, 이를 성공적으로 추종하는 모습을 보여준다. [Fig. 5]에서 $$ L_b=M_b\dot{q_b}$$와 $$ L_{bm}=M_{bm}{\dot{q}}_m$$가 크기가 같고 부호가 반대임을 확인할 수 있으며, [Fig. 6]을 통해 FFSM이 움직이는 동안 인공위성의 운동량 L = L_b + L_bm이 영벡터에 가까운 값으로 보존됨을 확인할 수 있다. 이때 운동량은 수치적으로 계산되었기 때문에, 인공위성과 매니퓰레이터의 운동량을 합한 값이 완벽하게 영벡터를 유지하지는 않는 모습을 보인다. 이를 통해 식 (7d)의 제약 조건이 FFSM의 구동기가 부족한 특성을 효과적으로 반영했다는 사실을 알 수 있다.

[Fig. 3]

The target position point (yellow point) in the workspace of the FFSM

[Fig. 4]

PTP Motion control results: set point tracking error

[Fig. 5]

The fact that Lb​ and Lbm have equal magnitudes but opposite signs indicates that the linear momentum of the satellite (upper graph) and the angular momentum (lower graph) are conserved to zero vector

[Fig. 6]

The value of L, the sum of Lb and Lbm, is preserved close to the zero vector. However, due to numerical calculation, the total momentum of the satellite and manipulator does not perfectly maintain the zero vector

4.2 장애물 회피

[Fig. 7]은 FFSM이 우주 잔해물(초록 상자)을 회피하는 시뮬레이션 과정을 보여준다. 1-3번 그림에서는 4.1절에서 설명한 대로 FFSM의 끝단이 목표 위치(목표 위성의 런처 링 근처)로 다가가는 과정을 보여준다. 이때 4.1절과는 달리 회전 오차와 장애물 회피를 고려한다. 4-6번 그림은 잔해물이 다가옴에 따라 매니퓰레이터 끝단이 이를 회피하는 과정을 보여준다. 회피 후에는 최종적으로 목표 위치로 돌아가는 모습을 6번 그림에서 확인할 수 있다. 전체 그림의 흐름을 통해 매니퓰레이터의 움직임에 따라 인공위성도 작용-반작용 원리, 즉 운동량 보존 법칙에 따라 움직이게 됨을 볼 수 있다. 이를 반영한 최적 제어 문제를 고려했기 때문에 매니퓰레이터의 제어입력 τ_m만으로도 원하는 작업을 수행할 수 있게 된다.

[Fig. 7]

Snapshot of obstacle avoidance simulation of FFSM

4.3 연산시간 비교

[Fig. 8]은 4.1절에서 진행한 시뮬레이션의 시스템 모델을 각각 기존의 동역학 모델(상단의 그래프)과 제안된 방법(하단의 그래프)으로 사용했을 경우의 각 단계별 연산 시간을 나타낸 그래프이다. 기존 방법의 경우 평균 연산시간이 0.62108[s]로 샘플링 시간(st)인 0.1[s]를 초과하는 반면, 제안된 방법은 평균 연산시간(0.025798[s])뿐만 아니라, 전 구간에서의 연산시간이 0.1[s] 이내로 유지되는 것을 확인할 수 있다. 해당 결과를 통해 제안된 방법이 기존 방법에 비해 연산량 측면에서 우수한 성능을 보인다는 사실을 확인할 수 있다.

[Fig. 8]

A graph showing the execution time at each stage when the system model is applied using the conventional dynamics model (top) and the proposed method (bottom)

5. 결 론

본 논문에서는 운동량 보존에 기반한 FFSM의 NMPC를 제안하였다. 먼저, FFSM을 인공위성의 6자유도와 매니퓰레이터의 7자유도를 포함한 총 13자유도의 직렬 체인 로봇으로 모델링하였다. 동역학은 식 (1)을 재구성하여 식 (2)와 같이 매니퓰레이터의 관절 가속도에 관한 식으로 유도하였다. 최적 제어를 위한 시스템 모델로는 기구학적 이중 적분 모델을 채택하였으며, 운동량 보존 제약 조건을 추가하여 자유 부유 움직임의 특성을 반영하였다. 마지막으로, 시뮬레이션 결과를 통해 제안된 방법의 유효성을 확인하였다.

Acknowledgments

This work was supported in part by the Institute of Civil Military Technology Cooperation funded by the Defense Acquisition Program Administration and Ministry of Trade, Industry and Energy of Korean government under grant No. 22-CM-EC-36, Republic of Korea.

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