뱀의 구동원리를 이용한 4족보행 로봇의 개발

1. 서 론

로봇이 움직이는 형태에는 여러 가지가 있다. 그 중 가장 많 은 형태는 바퀴와 다리이다. 바퀴가 달린 로봇은 빠른 속도를 낼 수 있지만 다리가 달린(legged) 로봇은 바퀴가 달린 (wheeled) 로봇보다 거친 표면이나 힘든 지형에서 잘 움직일 수 있다는 장단점을 가지고 있다^[1].

생체모방 로봇은 오랜 세월에 거쳐서 생물이 살아가는 환 경에 최적화된 움직임을 모사하기에 특정 환경에서 뛰어난 이 동성을 보인다^[2,3]. 그 중에서도 뱀 로봇은 초여유자유도의 이 동형 로봇으로, 굉장히 많은 종류의 모션을 할 수 있으며 땅에 닿는 부분이 많아 움직임이 안정적이다^[4]. 게다가 뱀 로봇은 거칠고 좁은 지형에서 다리가 달린 로봇 보다도 더 잘 움직일 수 있으므로, 무너진 빌딩 등의 재난현장에서 구조용으로 많 은 기대를 받고 있다^[5]. 그렇지만 뱀 로봇은 일반 보행 로봇 보 다도 더 느리다는 단점이 있다^[6].

그 동안 많은 뱀 로봇들이 앞서 서술한 장점을 극대화하고 단점은 최소화하기 위해 연구되어 왔다. 수동바퀴를 도입하여 sideslip을 제한하거나^[7-9] 자연의 뱀을 그대로 모방하는 형식 으로 로봇의 이동성을 향상시키려는 연구와^[10,11] 모듈형의 로 봇을 통해 가장 최적화된 뱀 로봇의 형태를 찾으려는 연구들 이 진행되어 왔다^[12].

하지만 우리는 뱀 로봇에만 국한되지 않고 뱀의 움직임 자 체에 집중하여 그 장점을 최대한 활용하려고 하였고 일반 보 행로봇에 그 움직임을 접목시키려고 시도하였다. 이에 우리는 다리가 뱀의 형태를 띄고 있는 보행로봇 Quadnake를 구상하 였고 뱀 로봇의 다재 다능한 움직임을 적용하여 각 로봇의 장 점을 최대한 활용하고자 하였다.

이 논문에서는 Quadnake의 기구학적 모션 플래닝과 시뮬 레이션, sideslip을 최소화하기 위한 비등방성 마찰판, 그리고 Quadnake의 움직임에 대하여 연구하여 보았다.

2. 이론적 분석

2.1 기구학적 분석

Quadnake에서 로봇의 각 다리 한 쪽을 독립된 뱀 로봇이라 고 볼 수 있다. 따라서 다리 하나를 분석하고 이들의 평균 값으 로 로봇의 head angle과 로봇의 속도에 대한 기구학을 분석 했다[Fig. 1]. Table 1

[Fig. 1]

Kinematic model of Quadnake

[Table 1]

Equations of each motion

고정된 기준 좌표계는 b로 나타냈고 로봇 몸체의 중심의 좌 표계는 c로 나타냈다. Quadnake가 4개의 다리를 가진 것을 고 려해 각 다리의 좌표계를 α, β, γ, δ로 나타냈다.

그러므로 joint i의 위치와 방향에 관한 프레임은 식 (1)의 homogeneous transformation matrix로 표현할 수 있다^[13].

$\[ {}_i^{b}T{=}_i^b{T}_{\chi }{,}_0^c{T}^{\chi ,}{}_i^{0}T \]$

(1)

χ는 각 다리에 해당하는 좌표 표기 α, β, γ, δ를 의미한다. 다리 하나가 향하는 방향은 각 링크와 글로벌 좌표 사이의 각 도의 평균으로 계산할 수 있다^[6].

$\[ \begin{array}{l}\overline{\theta }=\frac{1}{N}{\displaystyle {\sum }_{i=1}^N{}^b{\Theta }_i}=\frac{1}{N}{\displaystyle {\sum }_{i=1}^N\left[\begin{array}{c}{}^b{\theta }_{i,x}\\ {}^b{\theta }_{i,y}\\ {}^b{\theta }_{i,z}\end{array}\right]}\\ =\frac{1}{N}{\displaystyle {\sum }_{i=1}^N\left[\begin{array}{c}{\text{cos}}^{-1}\left(\frac{{}^b\widehat{X}\cdot \left({}^b{P}_{ORGi+1}-{}^b{P}_{ORGi}\right)}{\Vert {}^b{P}_{ORGi+1}-{}^b{P}_{ORGi}\Vert }\right)\\ {\text{cos}}^{-1}\left(\frac{{}^b\widehat{Y}\cdot \left({}^b{P}_{ORGi+1}-{}^b{P}_{ORGi}\right)}{\Vert {}^b{P}_{ORGi+1}-{}^b{P}_{ORGi}\Vert }\right)\\ {\text{cos}}^{-1}\left(\frac{{}^b\widehat{Z}\cdot \left({}^b{P}_{ORGi+1}-{}^b{P}_{ORGi}\right)}{\Vert {}^b{P}_{ORGi+1}-{}^b{P}_{ORGi}\Vert }\right)\end{array}\right]}\end{array} \]$

(2)

N은 다리 하나당에 링크의 개수이다. ^bP_ORGi는 b 좌표계에 서 본 i 좌표계의 원점의 위치를 의미하며, i = N이면 N번째 좌표계의 원점의 위치, i = N + 1이면 N번째 링크의 끝단의 위치를 나타낸다. ^bP_ORGi는 다음과 같이 구한다.

$\[ {}^b{P}_{ORGi}={}_{i-1}^b{T}^{i-1}{P}_{ORGi} \]$

(3)

로봇 전체의 heading angle 값은 다음과 같다.

$\[ {\overline{\theta }}_{Robot}=\frac{{\overline{\theta }}_{\alpha }+{\overline{\theta }}_{\beta }+{\overline{\theta }}_{\gamma }+{\overline{\theta }}_{\delta }}{4} \]$

(4)

다음은 무게중심에 대한 분석이다. 모든 링크의 질량이 같 다는 가정하에 무게중심은 다음과 같은 식으로 나타난다.

$\[ \begin{array}{l}{}^{c}P=\frac{1}{Nm}\left[\begin{array}{c}m{\displaystyle {\sum }_{i=1}^N{}^c{x}_{i,CM}}\\ m{\displaystyle {\sum }_{i=1}^N{}^c{y}_{i,CM}}\\ m{\displaystyle {\sum }_{i=1}^N{}^c{z}_{i,CM}}\end{array}\right]=\frac{1}{N}{\displaystyle {\sum }_{i=1}^N{P}_i}\\ =\frac{1}{N}\left[\begin{array}{c}{e}^T{}^c{x}_{CM}\\ e^T{}^c{y}_{CM}\\ e^T{}^c{z}_{CM}\end{array}\right]\end{array} \]$

(5)

m은 링크 하나의 무게, $$ {}^c{x}_{i,CM},{}^c{y}_{i,CM},{}^c{z}_{i,CM}$$ 은 각 링크의 무게중심(center of mass)의 좌표를 나타내며, e^T는 다음의 1*N 벡터를 나타낸다.

$\[ e^T=\left[1,1,1,\cdots 1\right] \]$

(6)

총 무게중심의 위치는 다음과 같이 계산할 수 있다.

$\[ \begin{array}{l}{}^c{P}_{Robot}\\ =\frac{e^T{m}_{\alpha }{P}_{\alpha }+e^T{m}_{\beta }{P}_{\beta }+e^T{m}_{\gamma }{P}_{\gamma }+e^T{m}_{\delta }{P}_{\delta }+m_{Body}{}^c{P}_{Body}}{e^T{m}_{\alpha }+e^T{m}_{\beta }+e^T{m}_{\gamma }+e^T{m}_{\gamma }+m_{Body}}\end{array} \]$

(7)

m_Body와 ^cP_Body는 각각 로봇 몸체의 질량과 로봇 몸체의 무 게중심을 나타낸다. 만약 모든 링크의 질량이 같고, 몸체의 무 게 중심이 몸체의 중심과 같으면 무게중심의 위치는 다음과 같다.

$\[ {}^c{P}_{Robot}=\frac{m\left(P_{\alpha }+P_{\beta }+P_{\gamma }+P_{\delta }\right)}{4Nm+m_{Body}}=\frac{P_{\alpha }+P_{\beta }+P_{\gamma }+P_{\delta }}{4Nm+m_{Body}/m} \]$

(8)

만약 m_Body가 4Nm보다 매우 작다면, 분모의 m_body/m항을 무시할 수 있을 것이다. 위의 무게중심을 글로벌 좌표계로 나 타내면 다음과 같이 나타난다.

$\[ {}^b{P}_{Robot}={}_c^{b}T{}^c{P}_{Robot} \]$

(9)

위의 무게중심을 이용하여 로봇 전체의 tangential 속도를 구해보면 다음과 같다.

$\[ \begin{array}{c}{\overline{\upsilon }}_t={}^b{\dot{P}}_{Robot,x}cos{\overline{\theta }}_{Robot,x}+{}^b{\dot{P}}_{Robot,y}cos{\overline{\theta }}_{Robot,y}\\ {+}^b{\dot{P}}_{Robot,z}cos{\overline{\theta }}_{Robot,z}\end{array} \]$

(10)

2.2 뱀의 움직임 분석

뱀의 대표적인 motion으로는 lateral undulation이 있다^[1]. 이 움직임의 경우, 뱀의 비늘에서의 비등방성(anisotropy)의 마찰 특성과 유동적인 무게의 분배가 중요하게 작용한다^[3]. 비등방 성은 앞뒤방향의 마찰계수보다 좌우방향의 마찰계수가 더 큰 것으로, 뒤에서 앞으로 진행하는 수평방향의 sine wave의 움 직임을 구현하는데 도움을 준다.

유동적인 무게 분배 특성은 빠른 속도로 움직이는 뱀들에 서게 나타나며 비등방성을 증가시킨다. Sinus-lifting motion은 sine 파동에서 최고, 최저점이 땅에서 살짝 띄워지고 다른 부 분은 눌러지는 모션이며^[14], 이를 통해 파장의 특정한 부분에 무게가 집중되어 비등방성이 커진다. 이 motion은 단순한 sine wave에 비해 약 50% 더 효율적이다^[15].

그 밖의 움직임으로는 sidewinding motion이 있는데 이 움 직임은 비스듬히 기울어진 모양의 sine wave를 통해 앞뒤가 아 니라 양옆으로 이동하는 motion이다^[16]. 그리고 이는 일반적인 sine wave motion 보다 더 효율적이다^[15].

움직임 분석 후에는 뱀 로봇에 구현할 4가지의 모션을 정하 고 각 모션들을 수식화 한 뒤, MATLAB을 이용하여 2D와 3D 로 시뮬레이션 하였다[Table1][Fig. 2].

[Fig. 2]

Path simulation of each motions

2.3 시뮬레이션

앞서 진행한 기구학적 분석과 동작 분석을 바탕으로 Simscape 와 Simulink를 이용하여 실제 뱀로봇에 필요한 토크를 중심으 로 시뮬레이션을 진행하였다 [Fig. 3][Fig. 4].

[Fig. 3]

time-torque graph of horizontal-directed motor of vertical sine wave

[Fig. 4]

time-torque graph of vertical-directed motor of vertical sine wave motion

지면에 계속해서 부딪히는 수직 방향의 모터에서는 계속하 여 오버슛이 나타나는 것을 확인했다. 이 오버슛은 수치적인 에러로써 이는 무시 될 수 있으며, 각 방향의 모터들에 걸리는 토크는 최대 1 N․m 정도로 이를 고려하여 각 관절에 들어가는 모터를 선정하였다.

3. 로봇의 설계 및 제작

3.1 뱀로봇의 피부구조

본 절에서는 뱀의 모션에 의한 추진력을 생성하기 위한 비 등방성 마찰특성을 가지는 피부를 다룬다. 먼저 [Fig. 5(a)]와 같이 일반 PLA 재질을 활용하여 피부구조를 만들었다. soft material의 경우 마찰계수의 비등방성을 더 크게 만들 수 있기 때문에^[17] 이를 위하여 PLA 판과 경도가 Shore A 40인 실리콘 을 혼합하여 다른 한 종류의 피부구조를 더 만들었다. 표면에 비등방성을 구현하는 무늬를 넣었고, 다양한 동작 시, 발판이 골고루 바닥에 닿도록 원통형으로 제작하였다[Fig. 5].

[Fig. 5]

Skin of the snake robot( (a) is skin made of PLA, (b) is skin made of PLA and silicon)

3.2 뱀 로봇의 구동모듈

뱀 로봇은 수동 바퀴나 능동 추진 장치 등을 부착하여 앞으 로 진행하기도 하지만^[6] 이런 외부 장치가 달린 뱀의 형태는 다리의 형태로 쓰기에 적합하지 않다. 따라서 조인트 이외에 아무런 장치가 달리지 않은 형태를 쓰기로 하였다.

제작의 편의성과 앞서 분석한 동작들의 원활한 구현을 위 해 우리는 두 조인트를 직각으로 붙인 형태를 하나의 모듈로 써 정하였다. 이를 연속적으로 이어 붙인 형태를 뱀 로봇으로 하였고 실험을 위한 실제 뱀 로봇에는 5개의 모듈의 사용하였 다[Fig. 6][Fig. 7]. 각 모듈을 이루는 모터로는 로보티즈사의 AX-12A를 사용하였다. 이 모터의 stall torque는 1.5 N․m 이고 한 모듈의 무게는 약 70 g으로 사이즈는 0.07 m X 0.04 m X 0.04 m로 선을 포함하지 않은 뱀 로봇의 무게는 700 g이다.

[Fig. 6]

Unit module of the snake robot

[Fig. 7]

Image of the snake robot

3.3 Quadnake

앞서 설계한 뱀 로봇을 8각형 몸체에 일정 간격으로 부착 시키는 형식으로 Quadnake를 설계하였다. 하지만 각 다리에 사용된 모듈의 개수는 보행의 편의성을 고려하여 각 3개로 조 정하였다[Fig. 8]. 총 무게는 약 2600 g로 각 다리의 길이는 약 0.4 m이다. 8각형 몸체의 모서리의 길이는 약 0.08 m, 높이는 0.06 m이다.

[Fig. 8]

Image of the Quadnake

4. 실 험

4.1 피부 구조의 마찰특성

앞서 설계하고 제작한 두 종류의 발판의 비등방성을 확인 하기 위해 마찰계수를 측정하는 실험을 진행하였다. 그 결과 일반 PLA 발판에서는 유의미한 결과를 얻을 수 없었지만, 실 리콘을 붙여서 만든 발판에서는 무늬결의 수평방향과 수직방 향의 마찰계수가 유의미한 차이를 띄어서 더 큰 비등방성을 확인할 수 있었다[Fig. 9].

[Fig. 9]

Graph of the result of the friction factor experiment. (a) is for PLA skin and (b) is for PLA & silicon skin. Blue points are vertical direction’s friction factor and red points are horizontal direction’s

4.2 뱀형 구동의 기초실험

앞서 분석한 뱀의 동작들은 기본적으로 sine wave를 바탕으 로 두고 있으므로 가장 먼저 뱀 로봇이 수평, 수직으로 sine wave에 따라서 움직이도록 하였다. 동작의 구현은 앞서 시뮬 레이션 한 그래프의 기울기에 비례한 값을 순서대로 각 조인 트들이 위치값으로 가지게 하여 구현하였다^[18]. 그 후 나머지 동작들을 구현하였다[Fig. 10].

[Fig. 10]

(a) is Sinus lifting motion of the snake robot, (b) is Sidewinding motion of the snake robot

구현한 동작들을 실험한 결과 시뮬레이션 한 대로 움직이 는 것을 확인할 수 있었고, 수평 방향의 Sine wave 동작의 경우 비등방성의 차이로 인하여 sinus lifting motion보다 이동이 느 린 것을 확인할 수 있었다.

4.3 Quadnake

뱀 로봇에서의 실험을 마친 후, Quadnake의 4개의 다리에 뱀의 모션을 응용하여 구동 실험을 수행하였다. 뱀로봇과는 다르게 Quadnake의 경우 마주보는 두 다리를 이어지는 하나 의 다리로 생각하여 제어할 수 있으므로, 이에 맞춰서 제어하 였다[Fig. 11]. Sidewinding의 경우 이런 방식으로 제어할 경우 중간의 몸체 때문에 다리가 고정되어 로봇이 제대로 이동할 수가 없었다. 이를 해결하기 위하여 뱀 로봇처럼 각각의 다리 를 개별적으로 제어하였고, 그 결과 제대로 잘 움직이는 것을 확인할 수 있었다[Fig. 12]. 또한 앞뒤 다리의 sidewinding의 진행방향을 반대로 하여, 제자리에서 회전하는 움직임도 구현 할 수 있었다 [Fig. 13]. 직진성을 확인하고자 초기위치를 기준 으로 8개 스냅샷에서의 현재 위치를 선형회귀해 기울기를 비 교했다. 8번째 스냅샷에는 해당 직선의 기울기를 표시했다. 그 결과, Vertical sine wave motion의 경우, 약 2.39°정도의 각도차 가 있음을 확인했다. 그리고 Sidewinding의 각도차는 약 6.8° 임을 확인할 수 있었다.

[Fig. 11]

Vertical sine wave motion of the Quadnake

[Fig. 12]

Sidewinding motion of the Quadnake

[Fig. 13]

Rotating motion of the Quadnake using Sidewinding

다음으로 Quadnake에 일반적인 사족 보행로봇의 보행동작 을 추가하였는데, 이는 바닥을 디디는 3개의 다리를 구부려 무 게중심을 이동한 후 나머지 한 다리를 들어 앞으로 옮기는 동 작을, 4개의 다리로 반복하여 구현하였다[Fig. 14]. 이 보행 동 작을 실험한 결과, 앞서 구현한 vertical sine wave에 비해 서는 1.4배 정도 빠른 속도로 움직이고, 땅을 밀어 움직이는 sidewinding와는 거의 같은 속도로 움직인다는 것을 확인할 수 있었다. Walking motion의 경우, 1.66°의 각도차를 보였다.

[Fig. 14]

Walking motion of the Quadnake

5. 고 찰

이 연구에서는 보행 motion과 뱀의 motion이 모두 가능한 로봇, Quadnake를 새로이 제안했다. 다양한 motion들의 구현 을 통해 다재 다능한 움직임의 구현이 가능한 prototype을 구 현했다. 특히 이번 연구를 통해 구현된 보행 motion의 직진성 과 속도는 vertical sine wave motion의 직진성과 속도에 비해 크게 향상되었음을 알 수 있었다. Sidewinding과 보행을 비교 했을 때에도 보행 motion이 상대적으로 더 뛰어난 직진성을 보임을 확인할 수 있었다. 하지만 서론에서 기대했던 바와는 다르게 보행 움직임이 sidewinding에 비해 더 나은 속도를 보 인다고 보기는 어려웠다. 이번 연구에서의 실험에서는 주로 Quadnake의 구현, 모터의 각도 제어를 통한 동작 구현과 그 비 교에 중점을 두었기 때문에 다음과 같은 결과가 나타났다고 분석했다. 그러므로 차후의 연구에서는 뱀의 움직임과 보행 움직임에 있어 향상된 속도와 직진성을 구현하기 위해 더 향 상된 비등방적인 마찰 특성의 구현과 동역학적인 분석을 기반 으로 한 제어의 구현이 필요할 것이다.

6. 결 론

이번 연구에서는 뱀 로봇을 다리로 갖는 로봇, Quadnake를 제안했다. 뱀 로봇의 5가지 motion들에 대해 Matlab을 이용하 여 모델링을 수행한 후, 직접 뱀 로봇을 만들어 open loop 제어 를 통해 motion들을 구현했다. 그리고 Quadnake를 만들어 앞 서 실험한 움직임들을 구현했다. 개발된 로봇을 이용하여 기 존의 뱀형 로봇과 4족 보행 로봇의 장점을 가진 새로운 형태의 보행을 구현할 수 있었다.

사 사

본 연구는 DGIST UGRP 프로그램의 지원으로 수행되었습니다.

References

• D. C. Kar, “Design of statically stable walking robot: a review,” Journal of Robotic Systems, vol. 20, no.11, pp. 671-686, Nov, 2003. [https://doi.org/10.1002/rob.10118]
• J. W . Burdick, J. Radford, and G. S. Chirikjian, “A ‘sidewinding’ locomotion gait for hyper-redundant robots,” IEEE International Conference on Robotics and Automation, Atlanta, GA, USA, pp. 101-106, 1993.
• D. Yun, “Development of a mobile robot mimicking the frilled lizard,” Journal of Mechanical Science and Technology, vol. 32, no. 4, pp. 1787-1792, Apr, 2018. [https://doi.org/10.1007/s12206-018-0335-1]
• D. Yun, K. S. Kim, and S. Kim, “Thrust characteristic of a caudal fin with spanwise variable phase,” Ocean Engineering, vol. 104, no. 1, pp. 344-348, Aug, 2015. [https://doi.org/10.1016/j.oceaneng.2015.04.089]
• A. A. Transeth, K. Y. Pettersen, and P. Liljebäck, “A survey on snake robot modeling and locomotion,” Robotica, vol. 27, no. 7, pp. 999-1015, Dec, 2009. [https://doi.org/10.1017/S0263574709005414]
• P. Liljebäck, K. Y. Pettersen, O. Stavdahl, and J. T. Gravdahl, “Introduction,” Snake Robots: Modelling, Mechatronics, and Control, 1^st ed. Springer Science & Business Media, 2012, ch 1. sec. 1, pp. 1-34. [https://doi.org/10.1007/978-1-4471-2996-7_1]
• S. Hirose and M. Mori, “Biologically inspired snake-like robots,” 2004 IEEE International Conference on Robotics and Biomimetics, Shenyang, China, pp. 1-7, 2004.
• M. Tanaka and K. Tanaka, “Control of a snake robot for ascending and descending steps,” IEEE Transactions on Robotics, vol. 31, no. 2, pp. 511-520, Apr, 2015. [https://doi.org/10.1109/TRO.2015.2400655]
• M. Luo, R. Yan, Z. Wan, Y. Qin, J. Santoso, E. Skorina, and C. D. Onal, “OriSnake: Design, fabrication, and experimental analysis of a 3-D origami snake robot,” IEEE Robotics and Automation Letters, vol. 3, no. 3, pp. 1993-1999, Jul, 2018. [https://doi.org/10.1109/LRA.2018.2800112]
• C. Wright, A. Buchan, B. Brown, J. Geist, M. Schwerin, D. Rollinson, M. Tesch, and H. Choset, “Design and architecture of the unified modular snake robot,” 2012 IEEE International Conference on Robotics and Automation, Saint Paul, MN, USA, pp. 4347-4354, 2012. [https://doi.org/10.1109/ICRA.2012.6225255]
• L. Chen, S. Ma, Y. Wang, B. Li, and D. Duan, “Design and modelling of a snake robot in traveling wave locomotion,” Mechanism and Machine Theory, vol. 42, no. 12, pp. 1632-1642, Dec, 2007. [https://doi.org/10.1016/j.mechmachtheory.2006.12.003]
• M. Yim, Y. Zhang, and D. Duff, “Modular robots,” IEEE Spectrum, vol. 39, no. 2, pp. 30-34, Feb, 2002. [https://doi.org/10.1109/6.981854]
• J. J. Craig, 2009. Introduction to robotics: mechanics and control (3). [Online]. Available: mech.sharif.ir/c/document_library/get_file?uuid= 5abb247-1430-4e46-942c-d692dead831f&groupId=14040
• S. Toyoshima, M. Tanaka, and F. Matsuno, “A study on sinus-lifting motion of a snake robot with sequential optimization of a hybrid system,” IEEE Transactions on Automation Science and Engineering, vol. 11, no. 1, pp. 139-144, Jan, 2014. [https://doi.org/10.1109/TASE.2013.2273356]
• D. L. Hu, J. Nirody, T. Scott, and M. J. Shelley, “The mechanics of slithering locomotion,” National Academy of Sciences of the United States of America, vol. 106, no. 25, pp.10081-10085, 2009. [https://doi.org/10.1073/pnas.0812533106]
• K. Lipkin, I. Brown, A.Peck, H. Choset, J. Rembisz, P. Gianfortoni, and A. Naaktgeboren, “Differentiable and piecewise differentiable gaits for snake robots,” 2007 IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems, San Diego, CA, USA, pp. 1864-1869, 2007. [https://doi.org/10.1109/IROS.2007.4399638]
• H. T. Tramsen, S. N. Gorb, H. Zhang, P. Manoonpong, Z. Dai, and L. Heepe, “Inversion of friction anisotropy in a bio-inspired asymmetrically structured surface,” Journal of The Royal Society Interface, vol. 15, no. 138, Jan, 2018. [https://doi.org/10.1098/rsif.2017.0629]
• R. M. Alexander, Principles of Animal Locomotion. Princeton University Press. 2003. [Online]. Available: https://www.jstor.org/stable/j.ctt4cg9j1