모델 파라미터 없는 쿠프만 연산자 기반의 영구자석 동기전동기의 속도제어

1. 서 론

최근 로봇, 전기자동차, 의료 기기 등 4차 산업분야의 발전에 맞추어 보다 정밀한 동작 제어에 대한 요구가 증가하고 있다. 지금까지 브러시리스 DC모터(Blushless DC, BLDC)가 로봇분야에서 많이 사용되었지만, 최근에는 영구자석 동기전동기(Permanent Magnet Synchronous Motor, PMSM)가 상대적으로 낮은 토크 리플, 높은 효율성 및 신뢰성을 장점으로 그 사용이 급증하고 있는 추세이다. 따라서 영구자석 동기전동기의 위치, 속도, 전류 및 기타 제어 목표의 최적 성능을 달성하기 위한 제어 기법이 지속적으로 연구되고 있다. 대표적인 제어기법으로는 비례-적분(Proportional-Integral, PI)제어^[1], 모델예측제어(Model Predictive Control, MPC)^[2], 외란 관측기(Disturbance Observer, DOB)를 이용한 제어^[3], H_∞제어^[4] 등이 있다. 비례-적분제어는 극점-영점 상쇄(pole-zero cancellation) 기법에 따라, 비례 이득과 적분 이득 값을 계산하는 과정에서 각각 인덕턴스(inductance)와 저항(resistance) 값이 요구된다. 또한 모델예측제어와 H_∞제어를 위해서는 상태 공간(state-space) 모델을 구성해야 하는데, 이 때 파라미터의 정보를 필요로 한다. 그러므로 앞서 언급된 제어기 모두, 모델의 파라미터 정보가 정확하지 않거나 알 수 없는 경우 제어기의 성능이 크게 저하되거나 제어가 되지 않는다는 단점이 존재한다.

이러한 문제점을 해결하기 위해 파라미터 추정(parameter estimation)기법에 대한 여러 가지 연구가 진행 중이다. 하지만 기존의 기법들은 전기적 파라미터(인덕턴스, 저항, 쇄교 자속) 또는 기계적 파라미터(관성 모멘트, 마찰 계수)를 분리하여 추정하는 방법이 대부분이며, 이를 한 번에 추정하는 방법들은 알고리즘의 구조가 복잡하고 연산시간이 길다는 단점이 있다.

따라서 본 논문에서는 모터의 극대수(pole-pair of the motor)와 외부 부하(external load)를 제외한 모델 파라미터 정보를 필요로 하지 않는 쿠프만 연산자(Koopman operator) 기반의 영구자석 동기전동기(PMSM)의 속도제어 기법을 제안한다. 제안한 방법을 통해 제어기를 구성하면 상태 공간(state-space)에서 수집된 데이터로부터 추정한 쿠프만 연산자를 통해 가관측 공간(observable space)으로 전이된 시스템의 선형모델을 바로 구할 수 있다. 즉, 모든 파라미터를 직접 추정할 필요 없이 제어기에 필요한 시스템 모델을 구성할 수 있다는 장점을 가진다.

본 논문의 주요 내용 및 구성은 다음과 같다. 2장에서 영구자석 동기전동기의 수학모델과 쿠프만 연산자에 대해 기술하고, 3장에서는 제어기 설계를 위한 쿠프만 연산자 기반 제어지령 생성 및 상태 공간 모델 구성, 4장에서는 시뮬레이션을 통해 제안한 제어방법을 검증한다. 마지막으로 5장에서 결론과 향후 과제에 대해 서술한다.

2. 배경 이론

2.2 쿠프만 연산자(Koopman Operator)

상태 공간에서의 연속시간 비선형 시스템 $$ \frac{d}{dt}s=F\left(s\right)$$ 또는 이산시간 비선형 시스템 s_k+1 = F(s_k)를 고려했을 때, 쿠프만 연산자^[5] κ는 다음 식 (4)와 같이 가관측 함수(observable function, Ψ)를 통해 시스템을 상태 공간(state-space)에서 가관측 공간(observable space)으로 전이시켜 선형화하는 무한 차원의 선형 연산자이다. 여기서 κ는 연속시간, κ_d는 이산시간의 경우를 각각 뜻한다. [Fig. 1]은 위에 설명한 개념을 시각적으로 나타낸 것이다.

$\[ \begin{array}{c}\Psi \left(\frac{d}{dt}s\right)=\Psi \left(F\left(s\right)\right)=\kappa \Psi \left(s\right) \hfill \\ \Psi \left(s_{k+1}\right)=\Psi \left(F\left(s_k\right)\right)={\kappa }_d\Psi \left(s_k\right)\hfill \end{array} \]$

(4)

[Fig. 1]

Lifting the state-space to observable space using observable function

하지만, κ는 무한 차원 연산자이기 때문에, 실제 시스템에 적용하기 위해서 유한 차원 연산자 K로 근사할 필요가 있다. 이를 위해, 먼저 제어 입력이 통합된 형태의 가관측 함수^[6]$$ \Psi \left(s,u\right)=\left[{\Psi }_1\left(s,u\right),{\Psi }_2\left(s,u\right),...,{\Psi }_N\left(s,u\right)\right]$$를 구성한다. 그 다음 관측 데이터 $$ \left[s_{1,}{s}_2,...,s_M\right]$$, $$ \left[u_{1,}{u}_2,...,u_M\right]$$를 사용하여 최소 자승법을 적용하면, 다음 식 (5)와 같이 유한 차원으로 근사된 이산시간 쿠프만 연산자^[7] K_d를 구할 수 있다. 여기서 M은 관측 데이터 쌍의 개수, N은 Ψ(s, u)의 차수이다.

$\[ K_d^{\mathrm{*}}=\text{arg}\underset{K_d}{\text{min}}\sum _{k=1}^M\frac{1}{2}{\left(\Psi \left(s_{k+1},u_{k+1}\right)-K_d\Psi \left(s_k,u_k\right)\right)}^2 \]$

(5)

따라서 위의 식을 정리하면 아래의 식 (6)과 같은 닫힌 형태의 해(closed-form solution)를 얻을 수 있다.

$\[ K_d^{\mathrm{*}}={AG}^{+} \]$

(6)

여기서 A, G는 관측 데이터를 이용하여 다음과 같이 계산할 수 있다.

$\[ \begin{array}{c}A=\frac{1}{M}\sum _{k=1}^M\Psi \left(s_{k+1},u_{k+1}\right)\Psi {\left(s_k,u_k\right)}^T \hfill \\ G=\frac{1}{M}\sum _{k=1}^M\Psi \left(s_k,u_k\right)\Psi {\left(s_k,u_k\right)}^T\hfill \end{array} \]$

(7)

3. 제어기 설계

3.3 쿠프만 연산자기반 LQR (Linear Quadratic Regulator)

앞서 유도한 식 (9)를 아래의 식 (14)과 같이 각각 s와 u로만 이루어진 부분으로 나누어 표현하면, 식 (15)와 같은 상태와 제어입력이 분리된 선형모델을 얻을 수 있다.

$\[ \left[\begin{array}{c}{\Psi }_s\left(s_{k+1}\right)\\ {\Psi }_u\left(u_{k+1}\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{K}_{d,A}& K_{d,B}\\ K_{d,C}& K_{d,D}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\Psi }_s\left(s_k\right)\\ {\Psi }_u\left(u_k\right)\end{array}\right] \]$

(14)

$\[ {\Psi }_s\left(s_{k+1}\right)=K_{d,A}{\Psi }_s\left(s_k\right)+K_{d,B}{\Psi }_u\left(u_k\right) \]$

(15)

여기서, Ψ_u (u_k) = u_k이기 때문에 아래의 식 (16)과 같이 목적함수를 정의할 수 있고, 최종적으로 식 (17)의 목적 함수를 최소화하는 제어입력 u_k를 얻게 된다. 이때 K_LQR은 LQR의 이득 값이다.

$\[ \begin{array}{c}J={\sum _{k=1}^{\infty }\left({\Psi }_s\left(s_k\right)-{\Psi }_s\left(s_{des,k}\right)\right)}^{T}Q\left({\Psi }_s\left(s_k\right)-\right. \hfill \\ \left.{\Psi }_s\left(s_{des,k}\right)\right)+u_k^T{Ru}_k\hfill \end{array} \]$

(16)

$\[ u_k=-K_{LQR}\left(\Psi \left(s_k\right)-\Psi \left(s_{des,k}\right)\right) \]$

(17)

위의 식에서 u_k는 관측 데이터를 이용해 사전에 계산된 K에서 얻은 모델 (14)과 현재의 상태(s_k)정보만으로 구할 수 있다. 전체적인 제어기의 블록선도는 [Fig. 2]와 같다.

[Fig. 2]

Block diagram of the LQR method based on Koopman operator

4. 실험 및 결과

본 논문에서는 제안된 방법을 검증하기 위해 영구자석 동기전동기를 제어하는 시뮬레이션을 진행한 뒤, 그 결과를 분석한다. 모든 시뮬레이션은 MATLAB 2021b 버전에서 진행되며, 영구자석 동기전동기의 모델은 [Table 1]의 값을 사용하여 구성한다.

[Table 1]

Model parameters of PMSM

4.2 q축 전류지령 생성 방법 검증

먼저 영구자석 동기전동기의 제어기법으로 가장 널리 쓰이는 다단 비례-적분제어기(cascade PI controller)와의 q축 전류 비교를 통해 3.2절에서 제안된 q축 전류지령 생성 방법의 타당성 검증하였다. 이때 다단 비례-적분제어기의 외부(속도) 제어주기는 41 × 10^-5[s]로 진행하였고, 제안된 LQR 제어기(KOLQR)의 가중치는 Q = diag(1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0), R = diag(0.1, 0.1)로 설정하였다.

[Fig. 3(a)]는 두 제어기가 [0, 0.25]초 구간에서 가속, [0.25, 0.5]초 구간에서 속도 유지, [0.5, 0.75]초 구간에서 감속, 다시 [0.75, 1]초 구간에서 속도를 유지하는 지령을 수행한 결과를 나타낸 그래프이다. 이때 0.3초에서 외부 부하로 0.05[Nm]을 주었다. [Fig. 3(b)]와 [Fig. 3(c)]는 [Fig. 3(a)]의 속도 지령을 수행했을 때 두 제어기의 q축 전류 값을 나타낸 그래프이다. [Fig. 3(b)], [Fig. 3(c)]를 비교해 보았을 때 제안된 제어기가 다단 비례-적분제어기와 같이 속도 지령으로부터 q축의 전류지령생성을 무리 없이 해내며 추적하는 모습을 확일 할 수 있다. 이 결과는 3.2절에서 제안한 q축 전류지령 생성 방법이 타당하다는 사실을 뒷받침해준다. 또한 극대수와 외부 부하를 제외한 모델 파라미터 정보를 사용하지 않았음에도 불구하고 쿠프만 연산자 기반 LQR 제어기([Fig. 3]의 KOLQR)의 성능이 더 우수했으며 외부 부하에 대해서도 강인한 모습을 보였다. 이는 수치적으로도 각각의 rmse (root mean squared error)값, rmse (PI) = 16.55, rmse (KOLQR) = 2.59을 비교하여 확인할 수 있다.

[Fig. 3]

Comparisons of q-axis currents at given velocity tracking

4.3 노이즈, 외부 부하에 대한 제어기 성능 비교

다음으로 본 논문에서 제안한 쿠프만 연산자 기반의 LQR (KOLQR)제어기와 기존의 파라미터 추정방법^[11]과 선형화 기법을 적용한 LQR 제어기의 노이즈, 외부 부하에 대한 강건성을 비교하였다. 쿠프만 연산자 추정, 모터 파라미터 추정 모두 데이터 노이즈를 가지는 환경에서 이루어졌으며, 4.2절에서와 동일하게 0.3초에서 0.05[Nm]의 외부 부하가 주어졌다. 이때 노이즈는 [Table 2]의 값을 사용하였고, KOLQR 제어기의 가중치는 Q = diag(1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0), R = diag(2, 2), LQR 제어기의 가중치는 Q = diag(1, 1, 1), R = diag(1, 1)으로 설정하였다.

[Table 2]

Gaussian data noise

[Fig. 4(a)]는 두 제어기가 [Fig. 3(a)]에서와 같은 속도 지령을 수행한 그래프이며, [Fig. 4(b)], [Fig. 4(c)]는 각각 [Fig. 4(a)]의 [0.225, 0.425]초 구간, [0.73, 0.77]초 구간을 확대하여 나타낸 그래프이다. [Fig. 4(b)]에서 확인할 수 있듯, 제안한 제어기가 기존의 방법으로 구성한 LQR 제어기보다 외부 부하가 걸렸을 경우 더욱 빠르게 안정을 찾아가는 모습을 볼 수 있다. 또한 [Fig. 4(c)]는 데이터에 가우시안 노이즈가 있는 환경에서의 제안된 제어기의 속도추정 성능이 기존 LQR 제어기의 성능보다 뛰어나다는 것을 보여준다. 이 또한 각각의 rmse값, rmse (LQR) = 7.13, rmse (KOLQR) = 5.85을 비교하여 수치적으로도 확인이 가능하다.

[Fig. 4]

Comparisons of velocity tracking performances in noisy environment

5. 결론 및 향후과제

본 논문에서는 모터의 극대수와 외부 부하를 제외한 모델 파라미터 정보를 필요로 하지 않는 쿠프만 연산자 기반의 영구자석 동기전동기의 속도제어 기법을 제안하였다. 먼저 가관측 함수를 구성한 뒤, 관측 데이터를 이용해 쿠프만 연산자를 계산하였다. 계산된 연속시간 쿠프만 연산자(K)와 운동방적식의 관계로부터 속도 지령에 대응되는 q축의 전류지령을 생성할 수 있었고, 이산시간 쿠프만 연산자(K_d)로부터 시스템의 선형모델을 얻은 뒤, LQR (Linear Quadratic Regulator)에 적용하여 최종 제어입력을 유도하였다. 시뮬레이션을 통하여 다단 비례-적분제어기와 기존 기법으로 구성한 LQR제어기와의 q축 전류그래프, 노이즈와 외부 부하가 있는 환경에서의 속도 추적성능 비교를 통해 제안된 제어기의 성능을 검증하였으며, 실제 모터로의 적용은 제안한 제어기법의 개선과 함께 향후 과제로 남긴다.

Acknowledgments

This work was supported in part by the National Research Foundation of Korea (NRF) grant funded by the Korea government (MSIT) (2019R1A2C1088375), and in part by the Technology Innovation Program funded by the Korean Ministry of Trade, industry and Energy, (20017345), Republic of Korea

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