원격조종 수중로봇을 모델링하기 위해 [Fig. 1]에 제시되었듯이 차체 고정 좌표계와 지구 고정 좌표계, 두 가지 기준 좌표계를 사용한다. 지구 고정 좌표계에 대한 원격조종 수중로봇의 위치벡터는 η = [x,y,z,ϕ,θ,ψ]^T로 나타낼 수 있으며, (x,y,z)와 (ϕ,θ,ψ)는 각각 위치와 각도를 나타낸다. 차체 고정 좌표계에 대한 속도는 벡터 ν = [u,v,w,p,q,r]^T로 나타낼 수 있고, (u,v,w)와 (p,q,r)는 각각 선속도와 각속도를 의미한다.

[Fig. 1] 
Position of the vehicle in the earth fixed reference frame is denoted by η, and velocity of the vehicle in the body fixed reference frame is denoted by ν

원격조종 수중로봇의 기구학 모델은 다음 식 (1)과 같다.

여기서, J(η)∈R^6×6 는 차체 고정 좌표와 지구 고정 좌표 사이의 변환 행렬이며 식 (2)와 같다.

이 때, R(η)∈R^3×3는 선속도 변환 행렬로 식 (3)과 같으며,

T(η)∈R^3×3는 각속도 변환 행렬로 식 (4)와 같다.

원격조종 수중로봇의 수력학 모델은 다음 식 (5)와 같다.

이 때 M∈R^6×6은 상수로만 구성되는 관성행렬(inertia matrix), C(ν)∈R^6×6는 속도의 함수로 기술되는 코리올리 행렬(Coriolis matrix), D(ν)∈R^6×6는 수중환경으로 인한 감쇠행렬(damping matrix), g(η)∈R^6×1는 위치의 함수로 기술되는 중력과 부력(gravitation and buoyancy forces), τ∈R^6×1는 힘과 모멘트(generalized force and moment), d∈R^6×1는 외란(disturbance)을 나타낸다. 여기서 M과 C(ν)는 수중환경으로부터의 부가 질량 행렬(added mass matrix) M_a∈R^6×6와 부가 코리올리 행렬(added Coriolis matrix) C_a(ν)∈R^6×6가 적용되었기 때문에 M = M_rb+M_a, C(ν) = C_rb(ν) + C_a(ν)과 같이 표현이 가능하다. 이 때 M_rb는 원격조종 수중로봇 강체의 관성행렬이며 상수로만 구성됨에 유의하자. 또한 C_rb(ν)는 원격조종 수중로봇의 코리올리 행렬로서 속도의 함수이다.

본 연구에서는 앞서 언급된 수력학 모델의 M_rb을 제외한 모든 모델 파라미터로부터 생성되는 힘들의 합을 덩어리 외란(lumped disturbance)으로 정의한다. 이는 식 (6)과 같다.

이제 식 (6)에 식 (5)를 대입하여 정리하면, 다음 식 (7)관 같은 운동방정식을 얻게 된다.

여기서 로봇 강체의 관성행렬 M_rb가 상수행렬이므로 우리는 위의 식을 이용하여 선형 외란 관측기를 설계할 수 있다.

[Fig. 2]는 식 (5)-(7)의 운동방정식을 바탕으로 구성한 본 논문에서 제안하는 외란 관측기 기반 제어기의 블록선도이다. [Fig. 2]에서 사용된 변수들은 다음 식 (8)과 같다.

[Fig. 2] 
Block diagram of the Disturbance Observer-based controller

여기서 η_des∈R^6×1, ν_des∈R^6×1는 로봇 시스템이 추종해야 하는 위치 및 속도 지령이며, η∈R^6×1, ν∈R^6×1는 로봇시스템에서 측정되는 위치와 속도이고, Q(s)∈R^6×6는 저역통과필터(low-pass filter)이다. 또한 J∈R^6×6는 식 (2)의 좌표변환 행렬, K_P, K_D는 각각 제어기의 비례이득과, 미분이득, 그리고 α는 저역통과필터의 시상수(time constant)와 관련된 설계 파라미터이며, dL^는 외란 관측기를 통해 얻은 덩어리 외란의 추정 값이다. 이 때 제안된 제어기 구성을 위해 오직 로봇강체 관성행렬 M_rb를 제외한 어떠한 로봇관련 모델 정보도 필요하지 않다.

설계된 외란 관측기로부터 얻은 값 dL^이 d_L을 잘 추정함을 식 (7)-(8)로부터 다음과 같이 식 (9)를 유도하여 수식적으로 확인할 수 있다.

이 때 ,식 (9)로부터 덩어리 외란의 오차 e는 Q(s)가 1일 경우 0이 된다는 것을 알 수 있다. 따라서 Q(s) ≈ 1인 저주파 구간에서 e ≈ 0이다. 제안된 외란 관측기 기반 제어기의 안정도의 증명은 기존의 연구결과^[7,8]로 대체한다.

외란 관측기의 성능을 실험적으로 검증하기 위해 식 (6)을 통해 계산된 값 d_L과 외란 관측기를 통해 구한 추정 값 dL^을 비교한다. 제어기 성능 검증을 위한 설계 파라미터인 K_P, K_D, α는 각각 500diag(1,1,1,1,1,1), 300diag(1,1,1,1,1,1), 1.25로 선정하였고, 제어 주기는 100[Hz]로 진행하였다. 또한 로봇이 추종해야 할 시간의 함수로서의 목표 궤적은 수행시간 20초에 [Table 1]의 수치 값을 적용하여 3차 목표 궤적(desired cubic trajectory)을 생성하였다.

[Fig. 3(a)]는 일정한 외부 외란 d= diag(1,1,1,0.1,0.1,0.1) [N or Nm]이 인가된 환경에서 제안된 제어기에 목표 궤적을 인가하여 얻은 로봇시스템의 위치 및 속도 출력을 나타낸 그래프이며, 이 때 [Fig. 3(b)], [Fig. 3(c)]는 각각 20초 동안의 덩어리 외란 d_L과 이를 추정한 dL^의 값을 나타낸 그래프이다. 외란이 있는 환경에서 상수들로만 구성된 로봇강체 관성행렬 M_rb를 제외한 어떠한 동역학 모델 정보도 사용하지 않았음에도 불구하고 목표 값을 잘 추종하는 모습을 볼 수 있다. 이는 [Fig. 3(d)]의 추정 오차 그래프를 통해서도 확인 할 수 있다.

[Fig. 3] 
Performance of position tracking and the lumped disturbance estimation of the proposed controller in the constant disturbance environment

정현파 형태의 외부외란 d= 10sin(2πt)*diag(1,1,1 0.1 0.1,0.1) [N or Nm]가 있는 환경에서 4.1절과 동일한 목표 궤적을 인가하여 각각 제안한 방법으로 구성한 제어기와 역동역학 비례-미분 제어기(inverse dynamics PD controller)^[1]의 출력결과를 비교하였다. 역동역학 비례-미분 제어기는 원격조종 수중로봇의 모델 정보를 모두 사용하여 구성하였으며 비례 이득과 미분 이득 값은 각각 50diag(1,1,1,1,1,1), 30diag(1,1,1,1,1,1)로 정하였다. [Fig. 4(a)], [Fig. 4(b)]의 비교를 통해 완전한 모델 정보를 이용하여 구성한 기존의 역동역학 비례-미분 제어기보다 본 논문에서 제안한 제어기가 외란이 존재하는 환경에서의 위치 추종 성능이 더욱 뛰어나다는 것을 확인 할 수 있었으며 이는 ϕ,θ,ψ값(각 그래프의 하단)에서 더욱 명확하게 확인된다. 또한, 이는 추종 궤적과의 RMS(root mean squares)오차 값 [0.1642, 0.1633, 0.0126, 0.0655, 0.0531](역동역학 비례-미분제어기), [0.1636, 0.1637, 0.0655, 1.46242e-04, 2.2007e-04, 0.0514](제안된 외란 관측기 기반 제어기)을 비교하여 수치적으로도 검증이 가능하다.

[Fig. 4] 
Comparisons of the position tracking performances in the sinusoidal disturbance environment