먼저 n 개의 축을 갖는 로봇의 각 관절 위치 값을 q ∈ Rⁿ, 속도 값을 q˙∈Rn, 가속도 값을 q¨∈Rn 이라고 정의하고, 로봇 궤적이 N개의 구간으로 나누어진다고 가정해보자. 궤적의 초기 위치, 속도, 가속도를 q0,q˙0,q¨0라 하고 궤적의 종단 위치, 속도, 가속도를 qN-1,q˙N-1,q¨N-1라고 나타내면, 상태변수 x ∈ R^3nN를 다음과 같이 정의할 수 있다.

속도의 경우 운동에너지와 밀접한 연관이 있으며 운동에너지를 최소화하는 움직임은 많은 로봇제어 방법에 사용된다. 따라서 속도를 정해진 제한조건 아래에서 최소화하도록 하는 이차 계획법 문제로 정의하면 다음과 같이 부등식 조건을 갖는 목적함수를 정의할 수 있다.

여기서 P ∈ R^3nN×3nN는 속도 궤적의 제곱합(sum of squaring)을 의미하도록 다음과 같은 행렬로 설정한다.

식 (2)에서 A와 b는 제한된 조건 하에서 최적상태를 구하기 위한 제한 값이며 2.3절에서 자세히 설명한다.

로봇의 순기구학(forward kinematics)은 관절 값 q에서 동차행렬변환(homogeneous transform) X ∈ SE(3)로 매핑되는 함수 f라 표현할 수 있으며, 이것의 역변환을 역기구학(inverse kinematics)이라 하고 다음과 같이 표현할 수 있다.

• X = f(q) forward kinematics
• q = f^-1 (X) inverse kinematics

양변을 시간에 대하여 미분하여 관절 속도값 q˙에서 twist V ∈ R⁶ 대한 표현으로 바꾼 것을 속도 기구학(velocity kinematics)라 하고 다음과 같이 표현할 수 있다.

• V=Jq˙ forward velocity kinematics
• q˙=J+V inverse velocity kinematics

여기서 J ∈ R^6×n는 자코비안(Jacobian matrix)이라 하며 관절 속도값 q˙가 변화함에 대한 twist V의 변화의 선형 민감도(linear sensitivity)와 관련있는 매핑행렬이다^[3].

본 논문에서는 2.1절에서 정의한 이차 계획법 문제를 해결할 때, 다음과 같이 기구학적, 동역학적, 작업 공간 궤적 제한조건의 세 가지 조건으로 최적 궤적을 찾았다.

이차 계획법을 통한 최적 값을 구할 때 상태 x는 각 관절의 위치, 속도, 가속도 값을 의미하며 t_step에 의존적이다. t_step의 값을 0에서부터 반복적으로 늘려 목적함수의 해가 최초로 존재하는 경우를 찾아 최적 궤적 시간을 계산할 수 있다. 다음 [Algorithm 1]은 최적 궤적 값과 t_step을 구하는 과정을 나타낸다.

초기 궤적의 경우 역기구학을 이용하여 5차 다항식 형태의 작업 공간 PtoP (Point to Point) 궤적과, 작업공간 C (Circular) 궤적을 생성하였다. 생성된 관절 위치 궤적의 미분을 통해 속도 값과 가속도 값을 초기궤적으로 선택하고 최적화를 진행하였다. PtoP 궤적과 C 궤적의 결합을 통한 궤적의 변화를 확인하기 위해, 먼저 PtoP 궤적을 생성하고 그 중간 지점에 C궤적을 삽입하여 불연속점을 생성하였다.

시뮬레이션은 N = 201, t_ϵ = 0.0001[s]로 진행했으며 초기 t_step = 0.0001[s]으로 시작했다. 총 반복횟수는 24회 진행하였으며, 계산된 최적 시간 간격은 t_step = 0.0024[s], 최종 궤적 시간은 t_end = 0.0024(N - 1) = 0.48[s]이다.

궤적의 경우 N의 값이 커지면 특정 시점에서의 궤적과 다음 시점에서의 궤적 간의 동역학적 제한조건이 보다 낮아지게 된다. 따라서 해를 구할 가능성이 높아지게 되나 행렬의 크기가 증가하여 해를 구하는 시간이 증가한다. 반대로 N이 작아지게 되면 동역학적 제한조건이 높아져 해를 구할 가능성이 낮아지게 되며, 행렬의 크기가 줄어들어 해를 구하는 시간이 감소하게 된다.

3.2.1 관절 공간 궤적

[Fig. 2]는 시뮬레이션을 통해 생성된 관절의 위치, 속도, 가속도 값들을 비교한 그림이며 초기 값의 경우 궤적과 궤적이 연결되는 시간에 위치, 속도, 가속도 그래프 모두에 불연속성이 나타나게 된다. 하지만 본문에서 제안한 방식대로 얻은 최적궤적의 경우 위치, 속도, 가속도 제한조건을 만족하며 부드러운 궤적을 생성할 수 있다. 또한 기구학과 직접적으로 연관된 위치 값은 불연속성이 발생한 중간지점 외에는 큰 차이가 발생하지 않는다.

[Fig. 2] 
Pressure (P) response to voltage input (V)

3.2.2 작업 공간 궤적

[Fig. 3]은 시뮬레이션을 통해 생성된 관절 위치를 순기구학을 통해 작업 공간 위치로 변환한 후 기존에 생성된 PtoP 궤적과 C 궤적과 비교하는 그림이며 불연속이 발생하는 중간지점 근방을 확대하였다. 작업 공간 회전은 오일러각 roll, pitch, yaw값을 이용하고, 작업 공간 위치는 x, y, z값을 이용하여 비교하였다. Roll값의 경우 결과 값이 목표 값에서 발생한 불연속을 보상하기 위해 오차가 발생했음을 확인할 수 있으며, x, y, z 값에서도 동일하게 불연속 지점에 오차가 발생함을 확인할 수 있었다.

[Fig. 3] 
Comparison between the target and Cartesian space QP results, where red dots and blue lines denote initial values and optimal values, respectively, and right axis expresss the error (black dots) yielded by using optimal values