본 섹션에서 우리는 자석물체에 대한 기본적인 배경지식에 대해 간단히 설명하고자 한다^[15]. 총 n개의 전자석이 존재할 때 각각의 전자석이 만드는 자기장(B_e)은 단위 전류당 자기장(B~e)과 스칼라 전류 값(i_e)의 곱과 같고 식 (1)과 같이 표현할 수 있다. 여기서 e는 e번째 전자석을 의미한다. 만약 전자석의 코어가 이상적인 soft iron core이고 전자석의 hysteresis를 무시할 수 있으며 시스템이 선형 자화 영역에서 작동한다면 워크스페이스내의 한 점(P)에서 자기장(B)는 전자석 n개가 각각 만들어내는 자기장의 합이라 할 수 있다.

식 (2)에서 I=i1 i2 ⋯ inT이며 B는 워크스페이스의 한 점에서 정의된 3×n 행렬로 각 열벡터는 각각의 전자석의 단위 전류당 자기장에 해당한다. 또한 자기력(F)를 계산하기 위해 cartesian 좌표계의 모든 방향에서의 자기장 그레디언트를 표현하면 다음과 같다.

Bx,By,Bz는 워크스페이스의 한 점에서 정의된 3×n 행렬로 각 열벡터는 각각의 전자석의 단위 전류당 자기장의 주어진 방향에서의 도함수이다. 식 (3)-(5)를 이용하여 워크스페이스 내 한 점에서 magnetic moment (m)을 가지는 자석 물체가 받는 자기력(F)는 다음과 같다.

식 (6)에서 ∇=∂∂x∂∂y∂∂zT이다. 식 (2)와 식 (6)을 고려하여 자기장과 자기력을 하나의 벡터로 표현하여 우리는 6×n의 크기를 갖는 워크스페이스내의 자석 물체의 위치(P)와 magnetic moment (m)에 대한 actuation matrix (A)를 구할 수 있다.

전자석 배치를 최적화 하기 위해서는 어떤 값을 판단의 척도로 선정할지 정하는 것은 중요하다. 자석 물체의 제어를 위해서는 자기장보다 자기력에 대한 정확한 제어가 필요하다. 자기장은 물체를 회전시키기 위한 토크와 관련된 것이며 자석 물체의 제어를 위해서는 물체에 가해지는 중력, 항력 등 정확한 움직임을 방해하는 힘을 이길 수 충분한 자기력이 필요하기 때문이다. 이러한 해석을 위해서 Kummer et al.이 제안한 방법은 아래와 같다^[10]. 먼저 식 (7)을 수정하여 다음과 같이 나타낸다.

식 (8)에서 α을 매우 작은 값으로 설정하면 modified actuation matrix (Am)의 자기장과 자기력은 서로 decouple된다. 식 (8)의 Am을 singular value decomposition (SVD)를 수행하면 Am=UΣV이다. 여기서 U는 AmAmT의 eigenvalue decomposition (EVD)을 통해 구한 eigenvector들의 열행렬이고 V는 AmTAm의 EVD를 통해 구한 eigenvector들의 열행렬이다. Σ는 singular value들로 이루어진 대각행렬이다. 또한 α가 매우 작은 값이기 때문에 B와 F는 서로 decouple되어 열벡터 U₄, U₅, U₆는 자기장에 singular value인 σ₁, σ₂, σ₃는 자기력에 상응하는 값이 된다. 이때 force condition number (σ₃/σ₁)는 일종의 척도가 될 수 있지만 이는 항상 좋은 척도라고 할 수 없다. 물론 force condition number가 1에 가까울수록 isotropic한 힘을 낼 수 있지만 singular value들이 모든 방향으로 비슷한 좋지 않은 값일 수도 있기 때문이다. 따라서 가장 좋지 못한 방향에서의 force generation capability인 σ₃를 척도로 사용한다. 결론적으로, 우리는 Am의 3번째 singular value인 σ₃를 전자석 배치의 최적성을 판단하는 척도로 사용한다.

본 섹션은 자기 기반 시스템에 사용되는 8개의 전자석 configuration들에 대한 비교한다. [Fig. 1]에서 상부 전자석들은 파란색으로 하부 전자석들은 노란색으로 표시하였다. [Fig. 1]의 (a)와 (b)는 각각 Square antiprism configuration과 OctoMag configuration이다. (a)와 (b) 모두 워크스페이스 중심인 원점에서부터 각 전자석 사이의 거리는 서로 충돌하지 않으면서 제일 가까운 거리인 30 mm로 동일하다. (c)는 우리가 제안한 방법을 통해 도출된 configuration이다. 모든 configuration의 이웃한 상부 전자석과 하부 전자석은 45°를 이루고 있으며, 이웃한 상부 전자석 간의 각도와 하부 전자석 간의 각도는 90°인 대칭형상이다.

[Fig. 1] 
The eight electromagnet configurations. Each figure shows isometric-, front-, and top-view. The upper electromagnet set is colored in blue, and the lower set is colored in red. (a) Square antiprism configuration. (b) OctoMag configuration. (c) Our proposed configuration

• 1) Square antiprism : 많은 연구에서 사용된 배치로 각각의 전자석들을 가능한 최대한 멀리 배치시켜 그들의 자기장에 대한 contribution을 고르게 만들어 줄 수 있는 배치이다^[6-9]. [Fig. 1]의 (a)에 해당하는 배치로 상부 전자석들은 공통 축을 기준으로 60°를 이루고 있고 하부 전자석들은 공통 축을 기준으로 120°를 이루고 있다.
• 2) OctoMag : Kummer et al.가 제안한 configuration이다^[10]. 이 configuration은 워크스페이스를 반구로 가정하여 식 (8)로 부터 도출되는 σ₃의 최소 값 즉 최악의 경우 힘을 최대화하는 방법으로 최적화한 결과이다. [Fig. 1]의 (b)에 해당하는 배치로 상부 전자석은 공통 축을 기준으로 45°를 이루고 있다. 하부 전자석은 공통 축을 기준으로 90°를 이루어 한 평면에 놓여있다.

최적화 과정에서 사용한 전자석의 사양은 [Table 1]과 [Fig. 2]에서 확인할 수 있으며 이는 최적화 과정동안 고정된 값이다. [Table 1]의 μ는 일반적인 iron core의 relative permeability를 뜻한다. 전자석의 내경(D_i)과 권선지름(d)는 외경(D_o)과 높이(L)를 기준으로 1 A에서 발열량(I²R) 이 최소이면서 최대의 힘을 내는 D_i와 d를 최적화하여 결정하였다.

[Fig. 2] 
Specification of an electromagnet with iron core

본 섹션에서는 최적화에 사용된 변수에 대해 설명한다. 첫째로, r은 전자석의 원점으로부터 전자석까지의 거리를 나타낸다. 이 거리가 길수록 자기장 세기가 감소하며 짧아질수록 자기장의 세기는 증가한다. 따라서 r값의 조절은 자기장의 강도를 변화시키는데 중요한 변수로 작용한다. 둘째로, θ는 전자석의 위치 방향을 정의하는 각도로 워크스페이스의 원점(O)에서 전자석을 연결하는 선분이 좌표축과 이루는 각도로 전자석의 위치를 결정한다. 이 각도가 변하면 자기장의 방향이 변화하게 되므로 이 변수는 자기장의 방향을 제어하는데 중요한 역할을 한다. 마지막으로, α는 전자석의 중심을 관통하는 축과 좌표축 사이의 각도를 나타낸다. 이 각도는 자기장의 방향과 분포를 결정한다. 또한 이 모든 변수들은 전자석에 내장된 코어의 induction에 영향을 끼치며 워크스페이스 내의 자기장 및 자기장의 그레디언트값을 결정하는데 중요한 역할을 한다.

[Fig. 3]에서 최적화 변수들을 도식화 하였다. [Fig. 3] 왼쪽 그림의 첨자 1는 상부 전자석을 오른쪽 그림의 첨자 2는 하부 전자석을 뜻한다. 이 변수들은 전자석 간의 위치 및 방향을 조절함으로써 자기장 및 자기력을 조절한다. 최종적으로, 전체 최적화에서는 이 두 세트의 변수 (r₁, θ₁, α₁), (r₂, θ₂, α₂)를 이용한다.

[Fig. 3] 
Description of optimization parameters. The left is one of the electromagnets in the upper set which has 3 optimized parameters r₁, θ₁, α₁ in, and the right is the electromagnet in the lower set with r₂, θ₂, α₂. These parameters apply to all electromagnets in each set

우리의 최적화 과정에서 objective function를 구하기 위해 이용하는 값은 식 (8)로부터 도출된 σ₃값이다. 이 값을 계산하기 위해서는 시뮬레이션을 통해 해당 위치에서의 자기장과 자기장의 그레디언트를 계산해야 한다. 하지만 베이지안 최적화 알고리즘으로 얻은 시뮬레이션 입력 값 중에서 시뮬레이션을 실행할 수 없는 경우 다시 말해 전자석들이 서로 충돌하거나 불가능한 상황이 발생할 수 있다. 이러한 상황에서는 objective function을 가능한 최소값인 0으로 설정하고 최적화 과정을 계속해서 진행한다. 이는 σ₃값이 항상 0보다 크기 때문에 이 값은 최적의 결과가 될 수 없다.

주어진 전자석 시스템의 경우 워크스페이스는 원점에 놓인 한 변의 길이가 20 mm인 정육면체로 정의하였고 이 정육면체내의 균일하게 분포된 125개의 지점을 고려한다. 또한 크기가 1이고 50개의 균일한 방향의 m을 가지는 자석(마이크로 로봇)을 고려한다. 이를 통해 6250개의 Am을 구할 수 있고 각각의 Am에 대해 SVD하여 σ₃를 구할 수 있다. 이 중 가장 작은 σ₃값을 f로 정의한다. 이 가장 작은 σ₃는 6250개의 case중에서 가장 최악의 case이므로 이 경우의 σ₃를 최대화 하는 것을 통해 force generation capability를 향상시킨다.

최적화 과정동안 변수들은 design space(χ) 내에서 정의된다. χ는 최적화 변수들로 r₁, θ₁, α₁, r₂, θ₂, α₂로 구성되며, 각각의 변수들은 다음과 같은 범위 내에서 정의된다: r₁, r₂∈[30, 40], θ₁, α₁∈[25, 65], θ₂, α₂∈[70, 110]. 이렇게 χ를 정의한 이유는 [Fig. 1]의 (a)와 (b)의 기존 배치들과 비교 및 분석을 용이하게 하기 위해서이다.

BO algorithm은 χ내에서 x에 대한 스칼라 식 (9) 에서 정의한 objective function (f)를 최대화하기 위해 사용한다. 해당 알고리즘에서는 f의 가우스 과정 모델을 업데이트하며 획득함수를 최대화하는 새로운 x를 찾는 과정을 반복한다. 이에 대한 알고리즘은 [Algorithm 1]에서 확인 가능하다. BO algorithm은 기존의 gradient-based optimization과 비교하여 훨씬 적은 함수 계산을 통해 최적의 매개변수 집합을 찾을 수 있는 장점을 가지고 있다.

본 연구의 최적화 프로세스는 BO 알고리즘과 FEM을 결합하여 자기장과 자기장의 그레디언트를 정밀하게 계산하여 이루어진다. 전체적인 프로세스의 flowchart는 [Fig. 4]에 나타내었다. 우리의 목표는 최악의 상황에서의 σ₃를 찾아 이를 최대화 하는 것이다. 이러한 프로세스의 시뮬레이션 모듈에서는 BO algorithm에서 찾은 [Fig. 4]의 INPUT에 해당하는 매개변수 집합 x를 입력 받아 해당 configuration에서의 자기장과 자기장 그레디언트를 계산한다. 그런 다음, 이러한 값들은 최적화 모듈에서 식 (9)를 통해 objective function을 계산하여 이 값을 최대화하는 방향으로 하는 새로운 x를 찾는다. 최적화 프로세스는 평가 횟수가 사전에 지정한 iteration 횟수에 도달하거나 지정한 시간을 초과할 경우 종료된다. 여기서 우리는 최대 iteration 횟수를 300으로 정의하였다. 최적화 과정에서 BO는 MATLAB의 bayesopt를 사용하였고 FEM 시뮬레이션은 COMSOL, Inc.의 COMSOL Multiphysics를 사용하였다. 모든 프로세스는 M2 apple silicon chip과 8코어를 장착한 macOS 운영체제 컴퓨터에서 수행되었다.

[Fig. 4] 
Flowchart of iterative process involving FEM simulation-based Bayesian optimization algorithm. This flowchart comprises two functional modules: the Simulation Module and Optimization Module. In Simulation Module, input configuration parameters are used to perform simulations, yielding magnetic field and gradient. In Optimization Module, this output data is refined into objective function and Bayesian optimization algorithm find parameters which maximize objective function, assessing whether it meets criterion