Tendon이 임의의 곡선 형태를 가질 때 sheath와의 마찰이 발생하고 이는 tendon의 장력에 영향을 준다. 이 때 곡률에 따 른 마찰력에 의해 가하는 힘과 전달된 힘 사이의 관계식을 capstan equation으로 알려진 식 (1)과 같이 표현할 수 있다.

이 때 μ는 tendon과 sheath 간의 마찰 계수, ϕ는 tendon과 sheath가 접촉하고 있는 호의 각도를 의미한다. 식 (1)을 통해 제어기가 마찰력을 고려하여 실제 모델이 얼마나 더 많은 힘 을 필요로 하는지를 알 수 있으며, T_in와 T_out 값의 차가 바로 tendon과 sheath 사이에서 발생하는 마찰력이 된다. 이에 따라 마찰력의 값을 f라 정의하고 이를 T_in 값에 대해 표현하면 아 래와 같이 나타낼 수 있다.

아래 [Fig. 1]은 식 (5)를 기반으로 T_in = 1N인 경우에 대해 서 임의의 마찰계수에 따른 마찰력을 그래프로 나타낸 그림이 다. Tendon의 곡률이 클수록 또는 마찰계수가 커질수록 마찰 력 크기가 증가하게 되며, 결국에는 가해지는 장력과 동일해 져서 최종적으로 힘이 전혀 전달되지 않는 것을 확인할 수 있 다. 한 편, 식 (1)을 통해 마찰이 발생하는 전후의 장력 값과 tendon의 곡률을 알고 있을 경우 해당 지점에서의 tendon과 sheath 사이에 발생하는 마찰계수를 도출해낼 수 있다.

[Fig. 1] 

Friction force according to friction coefficients

2.1장에서 tendon과 sheath 사이의 마찰계수를 구하기 위해 사용한 capstan equation에 대해 설명하였다. 본 연구에서는 tendon이 manipulator를 작동하는 과정에서 tendon끼리의 간 섭 등의 현상에서의 문제를 피하고자 tendon-sheath 방식을 채 택하였다. 다음 [Fig. 2]는 sheath 내의 tendon의 형상을 나타낸 그림이다.

[Fig. 2] 

Generalized model of curved tendon in sheath

[Fig. 2]과 같이 tendon에 곡률이 존재할 때 tendon과 sheath 사이에는 직경 차로 인한 유격이 존재하게 된다. tendon-driven 시스템은 인체 근육의 작동을 모사한 방법이기 때문에 근육과 마찬가지로 장력만이 작용하고 이에 따라 tendon은 sheath 내 부에서 곡률 중심 쪽의 면과 접촉하는 현상이 발생한다. [Fig. 2]를 살펴보면 tendon이 각각 현재 연결된 풀리에서 다음 풀리 로 연결될 때 tendon이 감기게 될 방향을 시계방향과 반시계 방향 두 가지 경우로 나눌 수 있는 것을 알 수 있다. 3장에서는 이러한 현상을 일반화하고 시뮬레이션으로 구현하는 내용을 자세하게 다룬다.

[Fig. 3]과 같이 일반화를 통해 임의의 곡률을 가진 tendon을 구현할 수 있는 시뮬레이션 플랫폼을 구축하였다.

[Fig. 3] 

Definition of winding direction of tendon

Tendon의 형상을 표현하기 위해 필요한 정보는 다음 두 가 지로 생각해 볼 수 있다. 하나는 현재 곡률 중심과 다음 곡률 중 심의 상대적 위치이며, 나머지 하나는 tendon이 감기는 방향이 다. [Fig. 3]은 여러 경우들 중 하나의 형태에 대해 나타낸 그림 이며 x₁, y₁, r₁과 x₂, y₂, r₂는 각각 현재와 다음 곡률 중심의 위 치와 tendon과 sheath의 두께를 고려한 곡률 반경을 의미한다. 시뮬레이션으로 위와 같은 현상을 구현하기 위해서는 contact point의 위치를 알아야 하며 내접하며 반시계방향(CCW)으로 감기는 경우는 다음 식을 통해 이를 계산할 수 있다.

마찬가지 방식으로 외접하며 시계방향(CW)으로 감기는 경우는 다음 식을 통해 contact point를 계산할 수 있다.

같은 방식으로 현재 곡률 중심과 다음 곡률 중심의 상대적 위치를 나머지 2, 3, 그리고 4사분면에 대해서 표현할 수 있고 이를 바탕으로 [Fig. 4]와 같은 시뮬레이션을 구현할 수 있다.

[Fig. 4] 

Modeling of tendon shape in sheath

마지막으로 식 (4)를 적용하면 sheath로 감싸진 tendon이 임 의의 형상을 가질 경우 발생하는 마찰력을 식 (15)으로 정리할 수 있다. 이를 그림으로 나타내면 [Fig. 5]와 같다.

[Fig. 5] 

Generalized model of friction in curved tendon

Tendon-driven 메커니즘이 작동되는 과정에서 발생하는 마 찰을 보다 정확하게 측정하기 위해서 일정한 기준을 가지고 반복 실험을 할 수 있도록 테스트 벤치를 구성하였고 [Fig. 6] 은 하나의 예시를 보여준다. MATLAB과 National Instruments (NI)의 LabVIEW를 이용하여 모터 제어와 신호 측정을 진행하 였다. 이외에 실험에 사용된 나머지 부품들의 제원은 [Table 1] 에 표기하였다.

[Fig. 6] 

Experiment set example

일정한 외력에 따른 마찰 데이터를 얻기 위해 1000g의 추를 사용하였다. 모터가 tendon을 통해 추를 감아 올리거나 내리는 작동은 손에 물체를 올려놓고 이두근을 이용하여 전완을 위로 들어 올리거나(pull up) 내리는(pull down) 움직임에 해당한다.

[Fig. 7]과 같이 마모를 방지하기 위해 폴리머 재질의 외피 인 sheath 안에 tendon을 넣고 다른 tendon끼리의 간섭을 최소 화하기 위해 한 번 더 스프링 형태의 관 안에 sheath를 넣는다. 이 때 스프링 안에 들어간 sheath가 움직이는 상황을 방지하기 위하여 sheath의 외경과 비슷한 내경을 가진 스프링을 사용한 다. 이렇게 구성된 Tendon은 원판에 감긴 이후의 반대쪽 tendon에는 load cell과 모터를 연결하여 모터의 pull up/down 에 따라서 외력에 마찰이 더해진 힘을 측정할 수 있도록 하였 다. 또한 이 때 데이터 측정 과정에서 측정하고자 하는 곡선 형 상에 따른 tendon과 sheath 사이의 마찰 이외의 base plate와의 마찰, 또는 모터 작동으로 인한 진동 등의 외란 요소를 최대한 제거하기 위하여 슬라이드 위에 load cell을 설치하였다.

[Fig. 7] 

Layout of tendon-sheath

실험은 각각 6가지 접촉 각도(45, 90, 135, 180, 225, 270)와 서로 다른 직경의 5가지 원판을 이용하여 총 30가지의 기본적 인 경우에 대한 마찰 측정으로 진행되었다. Base plate 상의 적 절한 위치에 각 부품들을 결합할 수 있도록 설계하였고, 이에 따른 다양한 각도와 위치에 대해 모터가 tendon에 연결될 수 있도록 rotating과 sliding이 가능한 2자유도의 motor bracket을 설계하였다.

실험 후 먼저 load cell에서 얻어지는 신호 값을 뉴턴 단위로 치환하는 1차 선형식으로 보정 작업을 진행하였다. 이후 각 조 건들은 NI 장비와 MATLAB을 이용하여 load cell과 결합된 슬 라이드를 100회 왕복하고 등속 운동을 하도록 모터를 제어하 였다. 또한 LabView를 이용하여 실험 데이터를 수집하고 해 당 결과 데이터들은 Excel로 저장한 뒤 해당 결과의 평균값을 사용하였다. 저장된 결과 데이터들은 MATLAB에서 곡률이 발생한 지점을 통과한 전과 후의 장력 차이를 비교함으로써 마찰력을 추정하는 후처리 과정을 거쳤다. 위 모든 과정은 30 가지의 경우에 맞게 하드웨어 위치를 설정하는 수작업 이후부 터는 자동화 프로세스에 의해 진행되었다.

[Fig. 8(a)]는 접촉 각도 45도, 곡률 반경 87.5mm에 대한 실 험 결과를 보여주는 그림으로 평형 상태의 1000g의 추에 대한 tendon의 장력은 9.65N으로 측정되었으며, 이를 녹색 선으로 표기하였다. 마찰의 영향으로 해당 기준선의 위아래로 측정값 이 9.65N보다 큰 값과 작은 값을 반복하여 나타내는 것을 확인 할 수 있는데, 이는 모터를 이용해 tendon을 감고 풀때마다 원 판을 기준으로 T_in과 T_out이 되는 쪽이 바뀌기 때문이다.

[Fig. 8] 

Experiment data in case of D: 175 mm / θ: 45°

예를 들어 [Fig. 8(a)]에서 빨간 선으로 표기된 측정 값은 모 터가 tendon을 감아 일정한 속도로 추를 끌어올릴 때의 값이 다. 따라서 모터가 내는 힘이 T_in이 되어 추의 무게에 마찰력이 더해지므로 추의 무게인 9.65N보다 높은 값이 요구된다. 반대 로 파란 선으로 표기된 측정 값은 모터가 tendon을 감아 일정한 속도로 추를 끌어내릴 때의 값이다. 따라서 중력이 추를 잡아당 기는 힘이 T_in이 되어 모터 입장에서는 마찰력을 제외하여 추 의 무게인 9.65N보다 작은 값이 요구된다. 한 편 [Fig. 8(b)]는 동 시간대에 모터의 움직임을 나타낸 그래프로 부호의 방향을 감 아 올릴 때를 (+) 감아 내릴 때를 (-)로 설정하였다. 일정 길이를 왕복하면서 각각 최대로 움직였을 때 방향의 변화를 주지 않기 위해 1~2초 정도 정지 상태를 유지하도록 설정하였다.

결론적으로 각 접촉 각도에 대해 flexion과 extension 과정에 서의 장력을 나타내면 [Table 2]와 같다.

4.1에서 언급한 것처럼 6가지 접촉 각도(45, 90, 135, 180, 225, 270)와 서로 다른 직경의 5가지 원판을 이용하여 총 30가 지의 경우에 대한 실험을 진행하였다. 그러나 2.1의 식 (1)에서 알 수 있듯이 원판의 직경은 형상만 다르게 보이게 할 뿐 접촉 각도만이 마찰력에 영향을 준다는 것을 확인할 수 있다. 이를 확인하기 위해 2.1의 식 (1)을 식 (16)과 같이 변형한 후, tendon 을 감고 푸는 경우에 따라 T_in 또는 T_out의 값은 1000g의 추에 의해 발생하는 힘이기 때문에 그 값은 9.65N(이하 gN)이 되며 아래와 같이 정리할 수 있다.

식 (17)과 [Table 2]의 장력 및 접촉 각도 값을 이용하여 회귀 계수 추정으로 마찰 계수를 도출하면 다음과 같다.

[Table 3]은 식 (17)의 감고 풀 때의 T_in /T_out 값을 나타낸 것이며, [Fig. 9]와 [Fig. 10]은 [Table 3]의 값을 이용하여 각각 감아 올릴 때와 내릴 때의 마찰계수를 회귀계수 추정을 통해 도출해낸 것이다. 실제 데이터의 접촉 각도 단위는 radian으로 저장되어 있으나 그래프의 가독성을 위하여 x축을 degree(°) 로 단위 변환하였다. 회귀계수 추정에 사용한 식은 실험 오차 를 고려하여 다음의 식 (18)과 같이 선정하였다.

[Fig. 9] 

Friction Estimation from the test results (pull up)

[Fig. 10] 

Friction Estimation from the test results (pull down)

결과적으로 실험을 통해 도출한 tendon을 감아 올리고 내릴 때의 a는 각각 1.045, 1.018이었으며 마찰계수는 각각 0.001323, 0.001312의 값을 가짐을 알 수 있었다.