본 논문에서 다루는 쌍추진기 선박의 형태는 Fig. 2와 같다. 선미에 장착된 두 개의 추진기는 독립적으로 구동되 어 서로 다른 각도를 취할 수 있는 것으로 가정한다. 타각 θ₁, θ₂과 추력 u₁, u₂로 표현되는 구동기 출력들은 선박의 전후방향과 좌우방향으로 각각 나누어 u_1x, u_1y , u_2x, u_2y로 생각할 수 있다. Fig. 2에 나타나는 선박의 형상을 참고하면 다음과 같이 추력분배문제의 첫 번째 제약조건을 작성할 수 있다.

Fig. 2 

Illustration of azimuth thrusters and notation

여기에서 X_con, Y_con, N_con은 제어입력을 의미한다. 선박 이 제어입력에 해당하는 기동을 실시하기 위해서는 추진기 들이 위 식을 만족하는 u_1x, u_1y , u_2x, u_2y를 생성할 수 있어 야 한다.

본 논문에서는 추진제약조건으로서 양 추진기의 최대 추 력 제한과 최대 타각 제한을 고려해주기로 한다. 두 추진기 는 정해진 최대 추력 u_max이상의 힘을 발생시킬 수 없으며, 각 추진기의 아지무스 각도는 θ_max이상이 될 수 없다. 이는 각각 식 (2)와 (3)과 같이 나타낼 수 있다.

식 (2)와 (3)에 나타난 추진제약조건들을 가시적으로 표 현하면 Fig. 3와 같다. Fig 3와 같이 전후 ․ 좌우방향으로 추진기가 낼 수 있는 추력을 도시한 것을 추력가용범위 (Attainable thrust region)라고 부른다. 이 그림을 참조하면 각 추진기는 타각제한 조건으로 인해 전후방향으로 각각 부채꼴 모양의 힘을 발생시킬 수 있음을 확인할 수 있다.

Fig. 3 

Attainable thrust region

위 내용을 바탕으로 쌍동형 무인선의 추력분배를 위한 최적화 문제를 정의할 수 있다. 본 논문에서는 추력문배문 제의 가격함수를 추진기 추력의 제곱의 합으로 가정한다. 이는 식 (4)와 같으며, 동시에 전후 ․ 좌우 방향의 추진기 힘 성분으로도 나타낼 수가 있다. 충분한 여유자유도가 확 보될 경우 추진기 타각의 각속도 등을 가격함수에 포함시키 는 경우도 있지만, 본 문제의 경우 구동기 수가 충분히 많지 않은 점을 고려하여 가격함수를 추력에 대한 것으로만 고려 하기로 한다.

위의 가격함수를 최적화하는 과정에서 고려해주는 제약조 건은 앞서 정의한 식 (1), (2), (3)과 같다. 타각의 각속도나 추력의 변화율은 최적화 문제의 해 존재 가능성(feasibility) 을 심각하게 제한할 수 있으므로 고려하지 않기로 한다.

이렇게 기술된 최적화 문제는 추력분배 문제를 일반적인 이차계획 문제로 모델링한 것이다. 상당수의 동적위치제어 선박들이 이와 유사한 수준에서 가격함수와 추진제약조건 을 설정하며, 이렇게 기술된 최적화문제는 수치해석 기법을 이용하여 빠르고 정확하게 풀이될 수 있다. 그러나 본 논문 에서 다루는 쌍동형 무인선의 경우 일반적인 수치해석 기법 을 바로 적용할 수가 없다. 식 (2), (3)과 같이 non-convex 형태의 추진제약조건이 존재하기 때문이다. 이는 추력가용 범위그래프(Fig. 3)에서도 확인 가능하다. 아지무스 추진기 의 타각 제한이 만들어내는 비볼록 제약조건으로 인해 쌍동 형 무인선은 상용화된 추력분배 기법을 적용하기에는 연산 이 비효율적이게 된다.

아지무스 추진기로 구동되는 쌍추진기 선박이 동적위치 제어를 수행하는데 있어 겪는 어려움은 추력분배 과정에만 있는 것이 아니다. 본 논문에서 다루는 추진형태를 가지는 쌍동형 무인선은 때때로 부족구동 특성을 보인다. Fig. 4는 타각제한이 있는 두 아지무스 추진기로 만들어낼 수 있는 힘과 모멘트를 3차원 공간 상에 도시한 것이다. 특정 힘과 모멘트 영역에 공백이 있음을 확인할 수 있는데, 이는 해당 선박으로 만들어낼 수 없는 제어입력이 된다. 즉 쌍동형 무인선은 특정 방향의 힘과 모멘트를 필요로 하는 상황에 대해 underactuated system이 되는 것이다. 본 논문에서는 어떤 경우에 부족구동 현상이 나타나며 어떻게 이를 극복하 는지 다루도록 한다.

Fig. 4 

Attainable forces and moment in the direction of surge, sway and yaw(θ_max = 60°)

식 (1)부터 (4)까지 쌍동형 무인선의 추력분배 문제 풀이 를 위한 최적화 문제가 정의되었다. 이는 두 개의 추력 (u₁, u₂)과 두 개의 타각(θ₁, θ₂)을 각각 어떻게 작동시킬지 정하는 것이기도 하며, 동시에 전후 ․ 좌우방향 추력 성분 (u_1x, u_1y, u_2x, u_2y)을 정하는 문제이기도 하다. 즉, 네 개 변수에 대한 nonlinear non-convex optimization 문제인 셈 인데, 이는 다음의 절차를 적용하면 수치해석 방법을 적용 하지 않고도 해석해를 구할 수 있다.

먼저 식 (1)의 항들을 각 추진기의 전후방향 힘들에 대해 정리하면 식 (5)와 같이 표현하는 것이 가능하다.

식 (5)의 결과는 중요한 의미를 가진다. 좌현과 우현 각각의 추진기가 내야하는 전후방향 추력이 제어입력 (X_con,Y_con, N_con) 가 주어지기만 하면 무조건적으로 정해진다는 것이다. 이는 기존의 추력분배 문제가 네 개의 변수를 최적화해야 했던 것에서 두 개의 변수를 최적화하는 것으로 바뀌었음을 의미 한다. 그리고 이러한 특성을 이용하면 식 (2)와 (3)의 추진제 약조건들에서 u_1x, u_2x 에 관한 항들을 제거하고 u_1y, u_2y에 대해서만 정리하는 것이 가능해진다. 최대 추력에 대한 추 진제약조건은 식 (6)과 같이 나타낼 수 있다.

최대 타각에 대한 추진제약조건은 식 (7)과 같이 나타낼 수 있다.

식 (6), (7)에서의 u_ix 는 제어입력에 의해 무조건적으로 정해지는 값이기 때문에 결과적으로 u_iy가 가질 수 있는 값은 상수 값 이내로 특정된다는 것을 볼 수 있다.

단순화된 형태의 최적화 문제는 도식적인 해석을 가능케 한다. 식 (6)과 (7)의 단순화된 추진제약조건을 u_1y와 u_2y를 두 축으로 가지는 평면에 도시할 수가 있으며 이는 Fig. 5와 같다. 그림에서 붉은 실선은 최대 추력에 의한 추진제약 조건, 푸른 실선은 최대 타각으로 인한 추진제약조건이 된 다. u_1y와 u_2y모두에 대해 추진제약조건을 만족하는 내부 사각형이 (u_1y, u_2y)의 추력가용범위가 된다. 음영처리된 이 영역은 본 논문에서 다루는 쌍추진기 선박이 물리적으로 실현할 수 있는 추력 (u_1y, u_2y)의 집합을 나타낸다.

Fig. 5 

Inequality constraints which are represented in space(u_1y, u_2y )

여기에서 식 (1)을 적용하면 추력분배를 마칠 수 있다. 식 (1)의 Y_con = u_1y + u_2y을 좌표평면상에 도시하면 Fig. 6 와 같은 결과를 얻을 수 있다. 굵은 실선으로 나타나는 영역 은 추진제약조건 Y_con = u_1y + u_2y을 만족하면서 동시에 실 현 가능한 힘의 집합을 의미한다. 이 중에서 추진기의 소모 에너지를 최소화하는 (u_1y, u_2y)가 있다면 그것이 이 추력분 배 문제의 해가 된다. Fig. 6에서는 u_1y = u_2y를 만족하는 상태에서 해가 구해지는 것을 확인할 수 있다.

Fig. 6 

Case study 1 : When the solution is on the boundary

앞에서 다룬 바와 같이 식 (1)을 적용하여 해를 구하는 과정은 Fig. 6, 7, 8과 같이 세 가지 경우로 분류할 수가 있다. Fig. 6는 u_1y = u_2y을 만족하며 추력이 분배되는 상황을 나타 낸다. Fig. 7는 u_1y = u_2y을 만족하지 못하는 경우로, (u_1y, u_2y)추력가용범위의 경계값에서 해가 발생하는 경우이 다. 마지막으로 Fig. 8은 추력분배 문제의 해가 존재하지 않 는 경우를 나타내며, 이 경우가 바로 쌍동형 무인선이 부족구 동되는 순간을 나타낸다.

Fig. 7 

Case study 2 : When the solution is inside the inequality constraints

Fig. 8 

Case study 3 : When the feasible solution does not exist

Fig. 6, 7, 8에서 다룬 추력분배 문제의 풀이 과정들은 모두 수학적으로 일반화하는 것이 가능하다. Fig. 9를 보면 (u_1y, u_2y)의 추력가용범위를 나타내는 사각형의 형상과 관 련된 변수 a, b는 모두 추력 제한과 타각 제한에 의하여 결정됨을 알 수 있다. 즉 a, b의 값만 적절히 정할 수 있으면 추력분배 문제의 해는 대수적으로 해를 찾을 수 있게 되는 것이다. a와 b의 값은 다음과 같이 정할 수 있다.

Fig. 9 

Constraints formulation

식 (8)의 a₁, a₂, b₁, b₁는 각각 다음과 같다.

Fig. 9와 식 (8), (9)를 이용하면 추력분배 문제의 풀이 과정이 Algorithm 1과 같이 정리된다. 추진기가 낼 수 있는 최대 추력과 추진기의 최대 타각, 추진기가 배치된 위치 등의 정보만 사전에 알고 있으면 별도의 수치해석 기법을 적용하지 않고 추력분배 결과를 얻을 수 있다.

앞 장에서 쌍동형 무인선의 추력분배 문제가 해석적으로 풀이될 수 있음을 보였지만 쌍동형 무인선으로 동적위치제 어를 수행하기 위해서는 추가적인 문제를 해결해야만 한다. 이는 쌍동형 무인선이 부족구동되는 문제에 관한 것으로, 앞에서 밝힌 바와 같이 쌍동형 무인선이 충분히 다양한 조 합의 힘과 모멘트를 발생시킬 수 없다는 점을 극복해야 한 다. 쌍동형 무인선의 부족구동 현상을 피하고 동적위치제어 를 수행하기 위에 본 논문에서는 다음과 같은 방법을 제안 한다.

먼저 Fig. 10은 무인선이 동적위치제어를 수행하는 장면의 예시를 보여준다. 그림 상에서 무인선은 위치와 선수각이 x=[xref, yref, ψref]T 이 되도록 유지하는 것을 목표로 한다. 이 때 무인선의 제어기에서는 힘과 모멘트 τ=[Xcon, Ycon, Ncon]T 를 만들고자 할 것이다. 본 예시에서 τ=[Xcon, Ycon, Ncon]T 는 무인선이 해당 포즈를 유지하기 위한 제어입력 에 상응하는 힘과 모멘트를 발생시키지 못하는 상황에 처한 것으로 가정한다.

Fig. 10 

Conceptual illustration of singularity resolution method

이와 같은 예시 상황에서 무인선이 부족구동되는 상황을 피하기 위해 새로운 목표 포즈 X′ref=[x′ref,y′ref,ψ′ref]T 를 생각해볼 수 있다. 그리고 이 포즈를 목표로 할 때 산출되 는 제어입력 τ′=[X′con,Y′con,N′con]T 은 추력분배 문제의 해가 존재한다고 가정한다. 만일 이러한 X′_ref를 X_ref근처 에서 지속적으로 찾을 수 있다면, 무인선을 X_ref에 근접하 게 위치시키는 것이 가능하다.

본 논문에서는 이러한 X′_ref를 찾아 임시 목표 포즈로서 사용하는 개념을 제안한다. 앞 장에서 고안한 추력분배 기 법을 이용하면, 제어입력 τ=[Xcon, Ycon, Ncon]T 가 정해질 때마다 τ에 대한 추력분배가 가능한지 불가능한지를 판별 식 |a|+|b|<|Ycon| 으로부터 파악할 수 있다. 이를 이용하여 X_ref 근처에서의 여러 지점들에 대해 추력분배가 가능한지 를 조사하는 것이다. X_ref 근처의 다양한 지점을 이 판별식 으로 조사하면 근처에서 임시 목표 포즈로 사용할 X′_ref를 찾을 수 있다. 근처를 탐색하는 방법은 여러 가지가 있을 수 있다. 목표 포즈를 탐색하기 위해 x, y, ψ 중 어느 값을 조절할지, 조절하는 데에 있어 가중치를 적용할 것인지, 목 표 포즈를 얼마나 조밀하게 탐색할 것인지는 모두 튜닝 파 라미터가 된다. 본 논문에서는 목표 포즈에서 좌표를 다양 하게 변경해가며 X′_ref후보들을 탐색하고, 그 중 X_ref와의 거리 오차가 가장 작은 것을 찾음으로써 진행되었다. 더 자세히는, Fi.g 10에서와 같이 X_ref을 중심으로 하여 일정 반경에서 수십여 개의 좌표들을 조사하고, 그 조사 반경을 점차 넓혀가는 식으로 진행되었다.