첫번째 경우는 가장 일반적인 경우로 관절 축 j_i와 z_i+1이 비스듬한(skew)인 경우이다[Fig. 4]. 두 직선이 서로 평행(parallel) 하지도 교차(intersecting) 하지도 않은 경우, 두 직선과 동시에 수직인 유일한(unique) 직선이 존재한다^[11]. 이 직선은 유일하기 때문에 유일한 DH 파라미터 을 제공할 수 있다. 이 직선을 찾기 위해서는 관절 축 j_i와 z_i+1이 만들어낸 두 직선과 동시에 수직으로 만나는 직선의 위치 벡터(o_it1, o_it2), 2개를 찾아내야 한다. 관절 축 j_i와 z_i+1가 만들어내는 두 직선의 방정식은 다음과 같다.

[Fig. 4] 
Case 1: Skew lines

o_it1, o_it2가 각각 r₁, r₂위에 있는 위치 벡터들이므로 식 (6,7)과 동시에 수직으로 만나는 조건을 만족시킬 수 있는 λ₁, λ₂를 찾으면 o_it1, o_it2는 식 (8,9)에 의해 결정된다.

두 직선과 수직으로 만나는 직선의 조각, r₃는 o_it2 - o_it1을 이용하여 구할 수 있다(식 (10)).

r₃를 구하게 되면 결과적으로 x_it2를 구할 수 있게 된다(식 (11)). r₃가 r₁, r₂와 각각 수직인 조건을 이용하여 두개의 구속 조건, 식 (12,13)를 구할 수 있다. 식 (12,13)을 λ₁, λ₂로 묶어 정리하면 연립 선형 방정식(simultaneous linear equation), 식(14)을 구할 수 있다. 이를 이용하여 식 (15)에서 λ₁, λ₂를 찾아 내어 o_it1, o_it2를 구할 수 있다.

식 (15)에서 역행렬(inverse matrix)이 존재하기 위해서는 행렬식(determinant)이 0이 아니어야 하며, 다시 말하면 j_i • z_i+1 ≠ 1의 조건을 만족하면 되는데 이 조건은 j_i와 z_i+1가 평행 하지 않다는 뜻이다. 위 식은 비스듬한 조건일 때 사용하므로 역행렬은 항상 존재한다.

[Fig. 4]에서 4개의 DH 파라미터를 시각적으로 표현하였으며 이들을 구하는 식은 다음과 같다.

식 (15)은 j_i와 z_i+1가 평행하면(i.e. j_i × z_i+1 = 0) 사용이 불가능하므로 다른 접근 방법이 필요하다. [Fig. 5]에서 이러한 경우를 보여주고 있다. j_i와 z_i+1가 평행할 경우 두 직선을 유일하게 연결해주는 공통 법선(i.e. common normal line)이 없으므로 임의로 특정한 직선을 지정해야 한다. 이를 위하여 o_it1을 o_i로 사용하여 유일한 직선을 설정하였다. 이러한 조건에서 d = 0이 된다. 또한 j_i와 z_i+1이 평행하므로 α= 0이 된다. 나머지 a와 θ를 구하기 위해 필요하는 식들은 아래와 같다.

[Fig. 5] 
Case 2: Parallel lines

2.3.2.1 Special case: Coincidence lines

평행 보다 더 특수한 경우로, j_i와 z_i+1이 같은 직선 상에 놓여져 있을 수 있다(i.e. j_i × • (o_i+1 - o_i) = 0) [Fig. 6]. 이 경우 DH 파라미터를 전부 0으로 두어 다음 단계를 위한 {it2}를 {it1}과 동일하게 만들었다.

[Fig. 6] 
Special case: Coincidence lines

j_i와 z_i+1가 교차하는 경우(i.e. (j_i × z_i+1) • (o_i+1 - o_i) = 0) [Fig. 7]에도 유일하게 결정되는 하나의 점을 찾을 수 있으므로 이 점에서 새로운 {it2}를 결정하여 DH 파라미터를 결정할 수 있다. 두 라인 r₁, r₂이 교차할 경우 식(6)과 식(7)이 같은 값을 가지도록 만드는 λ₁, λ₂를 찾아 교차점을 찾을 수 있다. 또한 교차하는 경우 링크 길이, a는 항상 0이 된다. DH 파라미터를 구하기 위한 식들은 다음과 같다.

[Fig. 7] 
Case 3: Intersecting lines

식 (34)가 여분(redundant)하게 보일 수 있으나(x, y, z 축 3개의 식) 두 선이 교차하는 경우 자유도를 하나 잃기 때문에 풀 랭크 행렬(full rank matrix)가 된다. 또한 행렬식이 0인 경우(i.e. j_i × z_i+1 = 0, 평행조건)는 교차하는 경우에서는 발생하지 않으므로 항상 역행렬이 존재하며 유일해(unique solution)가 존재한다. 결과적으로 DH 파라미터 들을 구하기 위한 식들은 다음과 같다.

[Table 2]와 [Fig. 12]에 보여준 URDF로 기술된 1축 로봇은 기존의 DH 파라미터 표시방법을 사용할 경우 로봇 바디 외부에 좌표계가 설정된다[Fig. 12]. 결과적으로 기존 DH 파라미터를 사용할 경우 직관적이지 못하며 로봇 말단의 위치를 확인 할 수 없는 문제가 존재한다. 본 논문에서 제안한 방법을 사용하면 이러한 문제를 해결할 수 있다. DH 파라미터를 구성한 결과는 [Table 3]과 [Fig. 13]에서 확인할 수 있다. 주어진 관절 궤도(trajectory)([Fig. 14(a)])에 대해서 DH 파라미터 표시 방법과 URDF 방식으로 계산한 말단 장치의 궤적이 동일함을 [Fig. 14]과 [Fig. 15]에서 확인할 수 있었다.

[Fig. 12] 
Robots constructed by URDF from [Table 2] and conventional DH parameter(θ= q₁+π/2, d = 1, a = 1, α = π/2). In this figure, we notice that the coordinate frame constructed by conventional DH parameter is out of the robot body. This situation makes users hard to use conventional DH parameter and know the position of end effector

[Fig. 13] 
The robot constructed by DH parameters from [Table 3]. In this figure, the end effector is identical with the end effector in the robot constructed from URDF

[Fig. 14] 
Forward kinematic results of end effector of 1-DOF robot from DH parameters and URDF. (a) Joint trajectory for q₁. (b) x axis displacement of end effector. (c) y axis displacement of end effector. (d) z axis displacement of end effector

[Fig. 15] 
The trajectories of end effectors of 1-DOF robots from URDF and DH parameters. For the given trajectory of the joint axis, the results of the forward kinematics of the end effectors are the same between the two robots

Indy7의 URDF 파일은 ㈜뉴로메카에서 공개한 파일을 사용하였다^[12]. 또한 URDF에서 베이스 링크의 병진(translation)을 수행하여 베이스의 위치를 공간상 임의의 위치에 놓았을 때도 DH 파라미터를 구할 수 있음을 보이고자 하였다. [Table 4]가 Indy7의 URDF 정보이며, 관절 축은 전부 z축으로 설정되어 있으나 DH 조건이 지켜져 있지 않아 직접적으로 DH 파라미터를 찾아낼 수 없다. URDF가 시각화된 [Fig. 16]에서 x axis가 전 단계 z axis와 만나지 않아 DH 조건이 지켜지지 않음을 확인할 수 있다.

[Fig. 16] 
Indy7 coordinate frames from URDF

Indy7의 URDF에서 DH 파라미터를 구성한 결과는 [Table 5]에서 확인 가능하다. 또한 DH 파라미터를 이용하여 표현된 로봇은 [Fig. 17], [Fig. 18]에서 확인 가능하다.

[Fig. 17] 
Indy7 coordinate frames from DH parameters

[Fig. 18] 
Indy7 coordinate frames from DH parameters with another viewpoint

DH 파라미터로 표현된 로봇을 확인하면 URDF에서 수행된 베이스 링크, 링크 0의 병진이 제대로 수행 되었음을 확인 할 수 있었고 URDF와 동일한 위치에 좌표계가 생성된 것을 [Fig. 19]을 통해 확인 할 수 있다.

[Fig. 19] 
Indy7 coordinate frames from URDF and DH parameters. The coordinate frames of the URDF matches the coordinate frames of the DH parameter. Also, the dummy coordinate frames introduced in the DH parameter are observed for making DH parameters from URDF

또한 [Fig. 20]에서 DH 파라미터와 URDF로 만들어진 로봇들이 주어진 관절 궤도([Fig. 20(a)])에 대해서 동일한 말단장치 궤적를 가진다는 것을 확인 했으며 [Fig. 21]에 나타낸 3차원 공간에서도 동일함을 확인할 수 있었다.

[Fig. 20] 
Forward kinematic results of end effector of Indy7 from DH parameters and URDF. (a) Joint trajectories for q₁~q₆. (b) x axis displacement of end effector. (c) y axis displacement of end effector. (d) z axis displacement of end effector

[Fig. 21] 
The trajectories of end effectors of Indy7 from DH parameters and URDF

GO1의 URDF 파일은 Unitree에서 공개한 파일을 사용하였다^[13]. 사족보행로봇은 몸통을 기준으로 4개의 다리와 센서들이 부착되어 있는 형식으로 구성되어 있다[Fig. 22]. 4개 다리 모두 동일한 구조이므로 앞쪽 왼쪽 다리만 확인한다.

[Fig. 22] 
GO1 whole body coordinate frames from URDF

GO1의 URDF는 병진만 이용해 좌표계를 배치하여 직관적으로 이해할 수 있으나, 관절 축이 z축이 아니라 x축이나 y축으로 설정해 둔 것을 확인할 수 있다[Table 6][Fig. 23]. 즉 DH 파라미터를 이용하여 직접적으로 표현이 불가능하다.

[Fig. 23] 
GO1 front left leg coordinate frames from URDF

GO1의 URDF에서 DH 파라미터를 구성한 결과는 [Table 7]에서 확인 가능하다. 또한 DH 파라미터를 이용하여 표현된 로봇은 [Fig. 24]에서 확인 가능하다.

[Fig. 24] 
GO1 front left leg coordinate frames from DH parameters

또한 [Fig. 25]에서 DH 파라미터와 URDF로 만들어진 로봇들이 주어진 관절 궤도([Fig. 25(a)])에 대해서 동일한 말단장치 궤적을 가진다는 것을 확인하였다[Fig. 26].

[Fig. 25] 
Forward kinematic results of end effector of GO1 from DH parameters and URDF. (a) Joint trajectories for q₁~q₃. (b) x axis displacement of end effector. (c) y axis displacement of end effector. (d) z axis displacement of end effector

[Fig. 26] 
The trajectories of end effectors of GO1 from DH parameters and URDF