메카넘 휠의 정확한 제어를 위해서 불확실성이나 외란의 영향에 강인한 특성을 가지는 제어 기법을 사용하야 하는데 이를 위해 AGV의 동역학 모델^[26]이 기반이 되어야 한다. 이를 표현하기 위해서 메카넘 휠 AGV의 각종 파라메터와 기준좌표계와 로봇좌표계 사이의 파라메터들을 구해야 한다.

[Fig. 1]에서 알 수 있는 파라메터들은 다음과 같다. X_I, Y_I는 기준이 되는 좌표계 X, Y축이고, X_R, Y_R은 로봇의 기하학 위치 중심인 G를 기반으로 한 로봇좌표계 X, Y축이다. l는 위치 중심과 각 바퀴 축 간의 거리이며 α는 X_R과 바퀴 축 간의 각이다.

[Fig. 1] 
Mecanum Wheeled AGV

[Fig. 2]에서 X′_R, Y′_R은 이동로봇의 무게 중심인 G′을 기반으로 한 로봇좌표계 X, Y축이고, θ는 기준좌표계를 기준으로 한 로봇의 헤딩 각이다. d₁은 G와 G′간 X축 거리이고 d₂는 G와 G′간 Y축 거리이다. f_i (i=1, 2, 3, 4)는 1 ~ 4번의 각 바퀴에 걸리는 마찰이고 τ_i (i=1, 2, 3, 4)는 각 바퀴의 토크이다. r은 메카넘 휠의 반지름이다.

[Fig. 2] 
Schematic of Mecanum Wheeled AGV

메카넘 휠을 장착한 이동로봇의 동역학 모델을 표현하면 식 (1)과 같다^[26].

여기서 q는 로봇의 자세 q = [x y θ]^T 이고, F는 메카넘 휠 이동로봇에 인가되는 힘으로 이동로봇의 입력이며 M은 관성력행렬, C는 전향력행렬, f는 각 바퀴에 걸리는 마찰력 f = [f₁ f₂ f₃ f₄]^T을 나타낸다. 먼저 관성행렬 M을 나타내면 식 (2)와 같이 표현이 가능하다.

위의 식에서 m_b는 AGV 플랫폼 질량, m_w는 AGV 바퀴 질량, I는 각 바퀴가 가지는 관성 모멘트, I_b는 AGV 플랫폼이 가지는 관성 모멘트다. 그리고 전향력행렬 C는 식 (3), 행렬 S는 식 (4), 맵핑 행렬 B는 식 (5)와 같다.

위의 행렬 S에서 ϕ˙ii=1,2,3,4는 각 바퀴의 각속도이다. ϕ˙i는 다음과 같이 정의할 수 있다.

앞에서 설명한 파라미터들을 정리하면 [Table 1]과 같다.

메카넘 휠 AGV의 입력인 힘 F를 모터로 입력되는 토크 τ로 변환하여 AGV의 입력으로 사용한다. F는 식 (7)과 같이 τ와의 관계식으로 나타낼 수 있다.

위 식의 관계식에서 τ는 τ = [τ₁ τ₂ τ₃ τ₄]^T로 각 바퀴에 걸리는 토크이며 제어입력은 F로 계산되며 토크는 B^T의 유사(pseudo) 역행렬을 곱해 구할 수 있다. τ로 변환된 식으로 다시 정리하면 식 (8)과 같다.

위의 식을 사용하여 메카넘 휠 이동로봇에 인가되는 힘을 가지고 각 바퀴의 토크를 계산할 수 있다.

임피던스 제어는 로봇의 위치와 속도, 그리고 힘의 관계를 원하는 동특성으로 만들어 줄 수 있는 제어방법이다. 임피던스 제어는 외부에서의 힘과 위치, 속도 및 가속도 간의 관계로 정의된 임피던스를 제어한다. 일반적으로 위치 혹은 속도나 가속도로부터 힘의 크기를 결정한다^[20-23].

미지의 외란이 있다고 가정할 경우의 메카넘 휠 이동로봇의 동역학 모델링은 다음 식과 같이 나타낼 수 있다.

여기서 D는 미지의 외란이고 나머지는 식 (1)과 동일하게 정의된다.

본 논문에서 사용하는 PD 형태의 임피던스 제어입력을 다음과 같이 정할 수 있다^[27].

이 경우 F = F₀이고, 식 (10)을 식 (9)의 F에 대입하여 정리하면 식 (11)이 나온다.

그러므로 오차 e는 q - q_d이고, e의 동특성 방정식은 식 (12)와 같이 정리된다.

여기서 d = M^-1 D이다.

위의 오차 동특성은 외란의 영향을 받기 때문에 외란에 강인한 오차 동특성을 갖도록 해야 한다.

ISMC는 초기시간부터 오차 동특성이 슬라이딩 평면에 존재하도록 하여 외란이 있는 경우 또한 공칭 제어 시스템의 동특성을 유지할 수 있도록 하는 제어방법이다^[24,25].

식 (10)의 임피던스 제어 입력을 F₀, ISMC 제어입력을 F_smc라 하면 식 (9)에서 임피던스 제어입력과 ISMC 제어입력을 동시에 고려한 입력은 F = F₀ + F_smc가 되며, 이 경우 오차 동특성 방정식은 다음과 같다.

여기서 d = M^-1 D이고 u_smc = M^-1 F_smc이다.

ISMC의 제어입력 F_smc를 설계하기 위해 식 (13)을 상태 방정식으로 정리하면 다음 식과 같이 된다.

여기서 x1=e, x2=e˙이고 행렬식으로 표현하면 다음과 같다.

ISMC를 적용하기 위한 슬라이딩 평면을 다음 식과 같이 정의한다.

여기서 보조변수 z(t)의 동특성은 다음과 같다.

식 (17)의 슬라이딩 평면은 그 위에 상태들이 머물 때, 시스템이 공칭 시스템의 동특성을 갖도록 한다. 제어입력을 구하기 위해 Lyapunov 함수를 다음 식과 같이 정의한다.

V˙t<0를 만족시키는 입력 u_smc을 구하기 위해 V˙을 다음과 같이 정리할 수 있다.

위의 식에서 u_smc를 다음과 같이 결정하면 V˙t<0 이 되도록 만들 수 있으며 S = 0가 되도록 할 수 있다.

여기서, d_max는 외란 d의 최대 크기이다.

그리고 u_smc = M^-1 F_smc이므로 F_smc는 다음 식처럼 된다.

결과적으로 임피던스 제어와 ISMC를 적용한 시스템의 전체 입력 F는 F = F₀ + F_smc가 된다.

상태공간에서의 보조 변수를 사용한 DOB를 이용하여 외란을 추정할 수 있다^[28].

식 (10)에서 임피던스 제어 입력을 F₀라 하고 , ISMC 제어입력을 F_smc라 한다. 그리고 외란 제거 입력을 F_D라 하면 식 (9)에서 F는 F = F₀ + F_smc + F_D가 되며, 제어기의 제어 입력 F는 다음 식과 같이 정리된다.

이 때, FD=-D^이고, D^은 외란 D의 추정 값이다.

식 (22)를 식 (9)에 대입하면 DOB가 적용된 오차 동특성 방정식을 구할 수 있다.

여기서 ud=M-1FD=-M-1D^=-d^이다. d와 u_smc는 식 (13)에서 설명하였다.

ISMC의 제어입력 F_smc와 DOB를 설계하기 위해 식 (23)을 상태 방정식으로 표현하면 식 (24)과 같다.

(24) 식을 (15) 식과 같이 행렬식으로 표현하면 다음과 같다.

식 (25)로부터 상태 공간에서의 DOB식은 다음 식 (26)과 같이 표현할 수 있다.

d^은 외란 추정 값이고, L은 관측기 이득이다. 보조변수 z는 다음 식으로 구할 수 있다.

마지막으로 외란 제거 입력 F_D는 다음 식 (28)와 같다.

최종적으로 임피던스 제어와 ISMC 그리고 DOB를 적용한 시스템의 입력 F는 F = F₀ + F_smc + F_D가 된다.

본 논문에서 제안된 제어기의 강인한 추적 성능에 대한 시뮬레이션을 MATLAB / SIMULINK를 사용하여 검증하였다. 시뮬레이션에서의 메카넘 휠 AGV의 파라미터는 실제 사용된 AGV의 파라메터와 같으며 시뮬레이션과 제어기에서 사용된 파라미터 값은 각각 [Table 2], [Table 3]와 같다.

위의 [Table 3]에서의 제어기 파라미터 K_d와 K_p는 다음과 같이 구하였다. 외란이 없는 상태에서의 임피던스 제어만을 사용하여 원형의 기준궤적에 대한 궤도 추적 시뮬레이션을 수행했을 경우 K_d와 K_p가 각각 1과 10일 때 최적의 성능을 나타내는 것을 확인하여 시뮬레이션에 적용하였다. [Fig. 3]을 통해 결과를 확인할 수 있다. 이 때 K_d와 K_p는 원하는 임피던스 특성에 따라 이득이 결정된다. 외란 관측기 이득인 L은 빠른 외란 추정 응답 특성을 고려했다.

[Fig. 3] 
Trajectory tracking simulation result about K_d and K_p

이동로봇의 초기 위치는 (0,0)이고 역 시계 방향으로 이동하였다. 로봇의 방향은 0 [rad]로 두었다. 외란은 sine파를 F_x, F_y, F_θ에 각각 넣었다. 각 sine파의 크기는 1, 각주파수는 0.5 [rad/sec]으로 설정했으며 각 sine파는 1 [rad]씩 위상차를 가지게 설정하였다.

제시된 궤도 추적 제어 방법에 대한 시뮬레이션 결과는 아래와 같다. 이동 로봇이 기준궤도를 0~20 [sec] 동안 주행한 경로를 보여준다. [Fig. 4]에서 보여주는 것은 기준 궤도와 추적 궤도 간의 최단거리이며, 두 점 사이의 거리 d를 나타낸다. 녹색 점선은 기준 궤도를 나타낸다. 적색 실선은 임피던스 제어와 ISMC만을 이용한 궤도 추적 결과를 보여주고, 흑색 실선은 임피던스 제어와 ISMC에 DOB를 추가한 제어 방법의 궤도 추적 결과를 보여준다. [Fig. 3]을 보면 외란이 존재하는 상황에서 DOB 없이 임피던스 제어와 ISMC 제어를 사용한 것보다 DOB를 추가로 사용한 제어 기법의 궤도 추적 성능이 더 좋음을 확인할 수 있다. [Fig. 5]는 이 때의 기준 궤적과의 오차를 보여준다. 역시 DOB를 추가한 제어 방법이 전 영역에 걸쳐 오차가 적은 것을 볼 수 있으며, 외란의 크기가 커져도 큰 변화 없이 여전히 오차가 적은 것을 확인할 수 있다. 이를 통해 궤도 추적 성능 향상이 되었음을 확인할 수 있다.

[Fig. 4] 
Comparison of trajectory tracking results before and after using DOB

[Fig. 5] 
Comparison of error with or without DOB

또한 입력단에 들어가는 D와 이를 추정한 D̑의 결과 그래프를 [Fig. 6]을 통해 확인할 수 있다. 시뮬레이션에서 만들어낸 D는 앞서 설명한 다른 위상을 가지는 Sine파를 보여주고 있으며 이 D를 추정한 D̑과 거의 일치함을 확인할 수 있다 . 이를 통해 DOB가 외란에 대해 잘 대응함을 확인할 수 있다.

[Fig. 6] 
Comparison of D and estimated D̑

실험은 제작된 4개의 메카넘 휠이 장착된 이동로봇을 이용하여 진행하였다. 로봇의 구성도는 [Fig. 7]와 같다.

[Fig. 7] 
Configuration diagram of Mecanum wheel AGV

메카넘 휠 이동로봇은 BL5740-24V BLDC모터 4개와 각 모터를 제어할 ESCON Module 50/5 모터 드라이브, 각 모터에 NX-14138 메카넘 휠을 장착했으며, 마이크로 컨트롤러는 차체 제어를 위한 아두이노 메가와 영상 처리를 위한 라즈베리 파이 3 Model-B가 사용되었다. 카메라는 라즈베리 전용핀 카메라를 사용하였다.

실험은 로봇을 이용하여 기준 궤적을 제공하고 이를 추적하는 방식을 스마트 공장에 사용하는 AGV와 같은 방식인 유도선을 이용한 라인 트레이싱 방식을 차용하여 실험을 진행하였다.

로봇에 [Fig. 8]과 같이 영상처리가 가능한 라즈베리 파이를 장착하여, 바닥에 레퍼런스 라인을 긋고 이를 인식하여 이미징 처리를 거친 후 라인의 위치에 대한 데이터가 계산되면 이 데이터를 가지고 라인을 추적하도록 로봇 차체를 제어하였다.

[Fig. 8] 
Mecanum wheel AGV and camera used in the experiment

기준궤도를 지름이 1000 [mm]인 원을 사용하였고, 로봇이 인식하는 0을 실제로는 –10 [mm]~10 [mm]의 범위를 가지도록 제어하였다. 초기오차는 X축으로 100 [mm]의 거리 오차를 주었다.

궤적 주행시 AGV의 평균 속도는 0.57m/s이다.

[Fig. 9]과 [Fig. 10]은 메카넘 휠 로봇을 이용하여 실험한 결과로 각각 제어기에 DOB를 미적용한 것과 적용한 것의 기준궤적을 추적하는 로봇의 위치를 보여준다. 결과 그래프를 통해 실험에서도 DOB를 적용한 제어기가 그렇지 않은 것보다 성능이 뛰어남을 확인할 수 있다. 같은 초기 오차가 있을 경우 얼마만큼 빠르게 기준궤도를 추적하느냐의 성능이 가장 큰 차이로 나타났다.

[Fig. 9] 
Tracking performance of AGV without DOB

[Fig. 10] 
Tracking performance of AGV with DOB

다음 [Fig. 11]는 DOB 적용 전과 적용 후의 결과 비교이다. 기준 궤적과의 오차 값을 비교하였다.

[Fig. 11] 
Comparison of error with or without DOB

위의 그림을 볼 때 시뮬레이션 결과와 마찬가지로 DOB를 사용함으로써 추적 성능이 훨씬 개선되었음을 확인할 수 있다.

결과 그래프의 데이터를 RMS를 이용하여 오차의 정도를 정량화된 데이터로 확인하면 [Table 4]와 같다.

실험에서는 바퀴의 슬립, 바닥면과의 마찰, 진동 등의 불확실성과 로봇 파라미터의 오차로 인해 시뮬레이션 결과보다 오차의 크기가 큼을 확인할 수 있다.